разделим таким же способом меньшую часть струны. И так далее, пока не дойдем до конца. И окажется, что на струне, состоящей из семи октав, укладывается двенадцать квинт.
— Скажите! — восхитился я. — Точно двенадцать!
— Гм, гм!.. — закашлялся Гиппас. — В том-то и беда, что не совсем точно. Двенадцать квинт чуть-чуть длиннее семи октав.
Правда, разность между ними совсем ничтожна. Если хотите, я ее подсчитаю. Это очень просто. Сложим семь октав, семь отрезков струны:
А теперь сложим двенадцать отрезков, образующих квинты:
— Остается вычесть из большей суммы меньшую, — сказал я. — 0,99999-0,99218=0,00781. Да, разность и в самом деле очень мала... — И все же, — возразил Гиппас, — это меня очень расстраивает. — Очень вам сочувствую, — сказал я. — В ореховом треугольнике есть еще число 4. И вы, помнится, ничего еще не сказали о нем. — О, отношение 4:3 тоже великолепное! — воодушевился Гиппас. — Оно дает... как это по-вашему? — Кварту, — подсказал капитан. — Да, да, кварту, — кивнул Гиппас. —Чтобы получить эту самую кварту, надо заставить звучать три четверти струны. И заметьте, что октава больше квинты как раз на кварту. — Ну, это еще надо проверить! — усомнился я. Гиппас насмешливо улыбнулся. — Чего проще! Раздели отношение 2:1 на 3:2. И получишь... — Получу четыре третьих, — быстро сосчитал я. — А это и есть кварта, — подтвердил Гиппас. — Теперь, надеюсь, ты не сомневаешься, что все четыре числа этого орехового или, как назвал его Пифагор, совершенного треугольника находятся между собой в великолепнейшем гармоническом отношении? — Понятно, — сказал я. — Но что такое октава, квинта и кварта, это мне, по правде говоря, еще все-таки неясно. Гиппас почесал переносицу: — Гм... как бы тебе это объяснить? Представь себе, что струна — это лесенка, состоящая из сорока двух ступенек. Представил? Так вот. То, что у вас называется октавой, это всего лишь восемь ступенек этой лестницы. Оттого, собственно, ее и называют октавой. Ведь по-латыни «окто» — восемь. Что же касается кварты, то она состоит из четырех ступенек, квинта — из пяти... Ведь «кварто» и «квинто» по-латински — четыре и пять. А вот разность между квартой и квинтой условились принимать за один музыкальный тон. — А тон тоже можно выразить числовым отношением? — поинтересовался я. — А то без числовых отношений мне теперь музыка — не музыка. Гиппас прямо вспыхнул от удовольствия. — А как же! Стоит только вычислить, во сколько раз квинта (3:2) больше кварты (4:3). — Ну, это легче легкого, — отмахнулся я. — 3:2, деленное на 4:3, равно 9:8. И, значит, одному целому тону соответствует отношение девяти к восьми. — Что за мальчик! — расчувствовался Гиппас. — Между прочим,— добавил он, — числа 8 и 9 тоже за-ме-ча-тель-ны-е! Еще со времен Пифагора мы, его ученики, кроме чисел 1, 2, 3 и 4 очень полюбили другую четверку чисел — 6, 8, 9 и 12. — Стойте! — закричал я. — Ничего не говорите. Позвольте мне самому разобраться, чем замечательны эти четыре числа. Возьмем сперва отношение 12:6. Оно равно отношению 2:1, то есть октаве. Точно так же отношение 12:8 равно 3:2, а это квинта. И, наконец, отношение 12:9 равно 4:3, то есть кварте. Верно я говорю? — Верно, дорогой мой друг, — сказал Гиппас, обнимая и целуя меня. — Обидно лишь, что ты не сказал о числе 9. Ведь это же не что иное, как среднее арифметическое между числами 6 и 12. — А ведь верно! — обрадовался я и тотчас вычислил:
— Гениально! — простонал Гиппас, утирая полой плаща слезы умиления. — Может, скажешь заодно, что такое число 8? — Наверное, среднее геометрическое между шестью и двенадцатью, — неуверенно предположил я. — Среднее-то среднее, да только не геометрическое, а гармоническое. И пора бы уж тебе знать, что средним гармоническим двух чисел называется их удвоенное произведение, деленное на их же сумму. Вот, смотри:
— Уважаемый гармонист, — пробормотал я, — у меня от ваших чисел голова идет кругом... — Жаль! — огорчился Гиппас. — Ведь я не сказал еще о числе 12. Тоже весьма любопытное число, потому что именно двенадцать квинт уложил Пифагор в семи октавах... Вот, оказывается, какая глубокая связь между числами и музыкой! Впрочем, тебе это ни к чему... — К чему, очень даже к чему! — горячо заверил я старца. — И огромное вам спасибо за интересную беседу.
Не без сожаления покинули мы с капитаном гостеприимный остров Математа и отправились обратно на фрегат. Всю дорогу сопровождала нас чудесная музыка — плавная, нежная. Только среди приятных звуков иногда вдруг прорывались фальшивые, воющие, будто завыла стая волков. Когда музыка кончилась, голос откуда-то с облаков объявил: — По просьбе богини Артемиды дельфийский секстет монохордисток исполнил ноктюрн Пифагора. — Все-таки молодчина этот Пифагор, — расчувствовался я. — Математик и композитор. Ноктюрны сочиняет. Только почему в этом ноктюрне завывают волки? — Неужели ты не понимаешь, что все дело в разности? — удивился капитан. — В маленькой разности между семью октавами и двенадцатью квинтами? От нее-то и возникает волчий вой при некоторых созвучиях, а лучше сказать — несозвучиях. — Но почему, — спросил я, — волки завывают только в ноктюрне Пифагора? Ведь в ноктюрнах Шопена никаких волков нет. Капитан и тут оказался на большой научно-музыкальной высоте. Он объяснил, что Шопен писал музыку совсем для другого, не пифагорейского музыкального строя. Оказывается, музыканты давным-давно искали способ избавиться от некрасивых созвучий. В этом помогали им многие известные математики — Эйлер, Лейбниц, Лаплас, Паскаль и даже астроном Кеплер. И все-таки никто не смог решить задачу так блестяще, как это сделал в середине XVII века органист Андрей Веркмейстер. Он вышел из положения просто и остроумно: чуть-чуть укоротил квинту. И все двенадцать квинт в точности уложились в семи октавах. А еще Веркмейстер выровнял интервалы между тонами, так что все они расположились равномерно. Капитан сказал, что такое равномерное отношение между тонами называется темперацией. Так вот, она-то и стала основой
Правда, разность между ними совсем ничтожна. Если хотите, я ее подсчитаю. Это очень просто. Сложим семь октав, семь отрезков струны:
А теперь сложим двенадцать отрезков, образующих квинты:
— Остается вычесть из большей суммы меньшую, — сказал я. — 0,99999-0,99218=0,00781. Да, разность и в самом деле очень мала... — И все же, — возразил Гиппас, — это меня очень расстраивает. — Очень вам сочувствую, — сказал я. — В ореховом треугольнике есть еще число 4. И вы, помнится, ничего еще не сказали о нем. — О, отношение 4:3 тоже великолепное! — воодушевился Гиппас. — Оно дает... как это по-вашему? — Кварту, — подсказал капитан. — Да, да, кварту, — кивнул Гиппас. —Чтобы получить эту самую кварту, надо заставить звучать три четверти струны. И заметьте, что октава больше квинты как раз на кварту. — Ну, это еще надо проверить! — усомнился я. Гиппас насмешливо улыбнулся. — Чего проще! Раздели отношение 2:1 на 3:2. И получишь... — Получу четыре третьих, — быстро сосчитал я. — А это и есть кварта, — подтвердил Гиппас. — Теперь, надеюсь, ты не сомневаешься, что все четыре числа этого орехового или, как назвал его Пифагор, совершенного треугольника находятся между собой в великолепнейшем гармоническом отношении? — Понятно, — сказал я. — Но что такое октава, квинта и кварта, это мне, по правде говоря, еще все-таки неясно. Гиппас почесал переносицу: — Гм... как бы тебе это объяснить? Представь себе, что струна — это лесенка, состоящая из сорока двух ступенек. Представил? Так вот. То, что у вас называется октавой, это всего лишь восемь ступенек этой лестницы. Оттого, собственно, ее и называют октавой. Ведь по-латыни «окто» — восемь. Что же касается кварты, то она состоит из четырех ступенек, квинта — из пяти... Ведь «кварто» и «квинто» по-латински — четыре и пять. А вот разность между квартой и квинтой условились принимать за один музыкальный тон. — А тон тоже можно выразить числовым отношением? — поинтересовался я. — А то без числовых отношений мне теперь музыка — не музыка. Гиппас прямо вспыхнул от удовольствия. — А как же! Стоит только вычислить, во сколько раз квинта (3:2) больше кварты (4:3). — Ну, это легче легкого, — отмахнулся я. — 3:2, деленное на 4:3, равно 9:8. И, значит, одному целому тону соответствует отношение девяти к восьми. — Что за мальчик! — расчувствовался Гиппас. — Между прочим,— добавил он, — числа 8 и 9 тоже за-ме-ча-тель-ны-е! Еще со времен Пифагора мы, его ученики, кроме чисел 1, 2, 3 и 4 очень полюбили другую четверку чисел — 6, 8, 9 и 12. — Стойте! — закричал я. — Ничего не говорите. Позвольте мне самому разобраться, чем замечательны эти четыре числа. Возьмем сперва отношение 12:6. Оно равно отношению 2:1, то есть октаве. Точно так же отношение 12:8 равно 3:2, а это квинта. И, наконец, отношение 12:9 равно 4:3, то есть кварте. Верно я говорю? — Верно, дорогой мой друг, — сказал Гиппас, обнимая и целуя меня. — Обидно лишь, что ты не сказал о числе 9. Ведь это же не что иное, как среднее арифметическое между числами 6 и 12. — А ведь верно! — обрадовался я и тотчас вычислил:
— Гениально! — простонал Гиппас, утирая полой плаща слезы умиления. — Может, скажешь заодно, что такое число 8? — Наверное, среднее геометрическое между шестью и двенадцатью, — неуверенно предположил я. — Среднее-то среднее, да только не геометрическое, а гармоническое. И пора бы уж тебе знать, что средним гармоническим двух чисел называется их удвоенное произведение, деленное на их же сумму. Вот, смотри:
— Уважаемый гармонист, — пробормотал я, — у меня от ваших чисел голова идет кругом... — Жаль! — огорчился Гиппас. — Ведь я не сказал еще о числе 12. Тоже весьма любопытное число, потому что именно двенадцать квинт уложил Пифагор в семи октавах... Вот, оказывается, какая глубокая связь между числами и музыкой! Впрочем, тебе это ни к чему... — К чему, очень даже к чему! — горячо заверил я старца. — И огромное вам спасибо за интересную беседу.
Не без сожаления покинули мы с капитаном гостеприимный остров Математа и отправились обратно на фрегат. Всю дорогу сопровождала нас чудесная музыка — плавная, нежная. Только среди приятных звуков иногда вдруг прорывались фальшивые, воющие, будто завыла стая волков. Когда музыка кончилась, голос откуда-то с облаков объявил: — По просьбе богини Артемиды дельфийский секстет монохордисток исполнил ноктюрн Пифагора. — Все-таки молодчина этот Пифагор, — расчувствовался я. — Математик и композитор. Ноктюрны сочиняет. Только почему в этом ноктюрне завывают волки? — Неужели ты не понимаешь, что все дело в разности? — удивился капитан. — В маленькой разности между семью октавами и двенадцатью квинтами? От нее-то и возникает волчий вой при некоторых созвучиях, а лучше сказать — несозвучиях. — Но почему, — спросил я, — волки завывают только в ноктюрне Пифагора? Ведь в ноктюрнах Шопена никаких волков нет. Капитан и тут оказался на большой научно-музыкальной высоте. Он объяснил, что Шопен писал музыку совсем для другого, не пифагорейского музыкального строя. Оказывается, музыканты давным-давно искали способ избавиться от некрасивых созвучий. В этом помогали им многие известные математики — Эйлер, Лейбниц, Лаплас, Паскаль и даже астроном Кеплер. И все-таки никто не смог решить задачу так блестяще, как это сделал в середине XVII века органист Андрей Веркмейстер. Он вышел из положения просто и остроумно: чуть-чуть укоротил квинту. И все двенадцать квинт в точности уложились в семи октавах. А еще Веркмейстер выровнял интервалы между тонами, так что все они расположились равномерно. Капитан сказал, что такое равномерное отношение между тонами называется темперацией. Так вот, она-то и стала основой