укажите, при каких с ∈ R эта сумма принимает наибольшее значение.
5. Основанием треугольной пирамиды SABC служит треугольник АВС, y которого ВС = 1, СА = 13, а высота СЕ = √105. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью АВС угол величиной α. Определите площадь основания и объем пирамиды.
2. Решите уравнение
|6 cos x − 1| = 4 cos 2x + 3.
3. Решите неравенство
log2 (3x − 5) + log¼ (2x − 1) < 1.
4. В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера, которая касается основания и всех боковых граней. Сфера делит высоту пирамиды в отношении 1 : 3, считая от вершины. Найдите объем пирамиды, если апофема пирамиды равна а.
5. При а = 1 решите уравнение
(4a + 2) sin x + 2a cos 2x + а + 1 = 0
и определите все значения а, при которых это уравнение имеет ровно одно решение, принадлежащее отрезку [0; 5π/6].
4. Решите неравенство 2x + 1 + 3 < 21 − x.
5. Какая наибольшая площадь может быть y прямоугольного треугольника, одна вершина которого совпадает с точкой M(5; 0), другая лежит на графике функции y = x³(5 − x), 0 ≤ x ≤ 5, а вершина прямого угла — на оси Ox?
6. Найдите все значения p, при которых система уравнений
имеет единственное решение.
7. Основанием пирамиды ТАВС служит треугольник АВС с углом А, равным 60°. Боковое ребро ТА совпадает с высотой пирамиды и равно h; ребро ТС перпендикулярно стороне основания ВС, а угол между ребром ТВ и биссектрисой основания АD равен 60°. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через биссектрису АD и пересекающую ребро ТВ?
3. В треугольнике АВС со стороной AB = √5 из вершины В к стороне AC проведены медиана ВМ = 2√2 и высота ВН = 2. Найдите сторону ВС, если известно, что ∠АВС + ∠ACВ < 90°.
4. Банк планирует вложить на один год 40% имеющихся y него средств клиентов в проект X, а остальные 60% — в проект Y. В зависимости от обстоятельств проект X может принести прибыль в размере от 19 до 24% годовых, а проект Y — от 29 до 34% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке. Определите наименьший и наибольший возможный уровень процентной ставки по вкладам, при которых чистая прибыль банка составит не менее 10% и не более 15% годовых от суммарных вложений в проекты X и Y.
5. Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечетной, периодической с периодом 4, и на промежутке 0 ≤ x ≤ 2 ее значения вычисляются по правилу f(x) = 1 − |x − 1|. Решите уравнение
2 f(x) f(x − 8) + 5 f(x + 12) + 2 = 0.
6. Найдите все значения параметра а, при которых периметр фигуры, заданной на координатной плоскости условием
будет наименьшим.
5. Вектор 
, коллинеарный вектору {12; −16; −15}, образует острый угол с осью Oz. Зная, что 
= 100, найдите его первую координату.
6. Решите уравнение
log1 + 2x (6x² + 5x + 1) − log1 + 3x (4x² + 4x + 1) = 2.
7. Найдите наибольшее целое решение неравенства
9 · 16−1/x + 5 · 36−1/x < 4 · 81−1/x.
8. Производительность труда рабочего повышалась дважды на одно и то же число процентов. На сколько процентов возрастала каждый раз производительность труда, если за одно и то же время рабочий раньше вырабатывал изделий на 25 000 р., а теперь — на 28 000 р.?
9. Найдите квадрат биссектрисы внутреннего угла С треугольника АВС, если АВ = 2, ВС = 4, АС = 2.
10. Ребро куба равно 36. Найдите кратчайшее расстояние между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю основания куба.
Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) (МИЭМ)
1. Решите уравнение
2. Решите уравнение
|6 cos x − 1| = 4 cos 2x + 3.
3. Решите неравенство
log2 (3x − 5) + log¼ (2x − 1) < 1.
4. В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера, которая касается основания и всех боковых граней. Сфера делит высоту пирамиды в отношении 1 : 3, считая от вершины. Найдите объем пирамиды, если апофема пирамиды равна а.
5. При а = 1 решите уравнение
(4a + 2) sin x + 2a cos 2x + а + 1 = 0
и определите все значения а, при которых это уравнение имеет ровно одно решение, принадлежащее отрезку [0; 5π/6].
Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана (МГТУ)
1. Из пункта А в пункт В одновременно вышли два пешехода. Когда первый прошел половину пути, второму осталось пройти 24 км, а когда второй прошел половину пути, первому осталось пройти 15 км. Найдите расстояние от пункта А до пункта В. 2. Найдите все корни уравнения cos 2x + cos 6x = cos 4x, принадлежащие промежутку [π/2; π]. 3. Решите уравнение
4. Решите неравенство 2x + 1 + 3 < 21 − x.
5. Какая наибольшая площадь может быть y прямоугольного треугольника, одна вершина которого совпадает с точкой M(5; 0), другая лежит на графике функции y = x³(5 − x), 0 ≤ x ≤ 5, а вершина прямого угла — на оси Ox?
6. Найдите все значения p, при которых система уравнений
имеет единственное решение.
7. Основанием пирамиды ТАВС служит треугольник АВС с углом А, равным 60°. Боковое ребро ТА совпадает с высотой пирамиды и равно h; ребро ТС перпендикулярно стороне основания ВС, а угол между ребром ТВ и биссектрисой основания АD равен 60°. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через биссектрису АD и пересекающую ребро ТВ?
Московский государственный университет им. M. В. Ломоносова (МГУ) (экономический факультет)
1. Решите уравнение 3|x| = 5x² + 3x. 2. Решите систему неравенств
3. В треугольнике АВС со стороной AB = √5 из вершины В к стороне AC проведены медиана ВМ = 2√2 и высота ВН = 2. Найдите сторону ВС, если известно, что ∠АВС + ∠ACВ < 90°.
4. Банк планирует вложить на один год 40% имеющихся y него средств клиентов в проект X, а остальные 60% — в проект Y. В зависимости от обстоятельств проект X может принести прибыль в размере от 19 до 24% годовых, а проект Y — от 29 до 34% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке. Определите наименьший и наибольший возможный уровень процентной ставки по вкладам, при которых чистая прибыль банка составит не менее 10% и не более 15% годовых от суммарных вложений в проекты X и Y.
5. Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечетной, периодической с периодом 4, и на промежутке 0 ≤ x ≤ 2 ее значения вычисляются по правилу f(x) = 1 − |x − 1|. Решите уравнение
2 f(x) f(x − 8) + 5 f(x + 12) + 2 = 0.
6. Найдите все значения параметра а, при которых периметр фигуры, заданной на координатной плоскости условием
будет наименьшим.
Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)
1. Найдите положительный тангенс угла между касательными к гиперболе xy = 1 в точках с абсциссами х1 = 1, х2 = 2. 2. Найдите (в радианах) все решения уравнения tg³ x² + tg² x² + ctg² x² + ctg³ x² − 4 = 0. 3. Найдите наименьшее значение выражения x² + y² + 2/|x|·|y|. 4. Вычислите, если x < 0:
5. Вектор , коллинеарный вектору {12; −16; −15}, образует острый угол с осью Oz. Зная, что = 100, найдите его первую координату.
6. Решите уравнение
log1 + 2x (6x² + 5x + 1) − log1 + 3x (4x² + 4x + 1) = 2.
7. Найдите наибольшее целое решение неравенства
9 · 16−1/x + 5 · 36−1/x < 4 · 81−1/x.
8. Производительность труда рабочего повышалась дважды на одно и то же число процентов. На сколько процентов возрастала каждый раз производительность труда, если за одно и то же время рабочий раньше вырабатывал изделий на 25 000 р., а теперь — на 28 000 р.?
9. Найдите квадрат биссектрисы внутреннего угла С треугольника АВС, если АВ = 2, ВС = 4, АС = 2.
10. Ребро куба равно 36. Найдите кратчайшее расстояние между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю основания куба.