Иллюстрация № 1833">, а сторона квадрата равна KO √2.
Ответ. 
24.10. Обозначим данную дробь через y. Поскольку дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, меньше нуля, уравнения
равносильны. Чтобы x было действительным числом, необходимо и достаточно выполнение условия (3 − 4у)² − 4у(6у − 2) ≥ 0, т. е. 8у² + 16у − 9 ≤ 0. Ему удовлетворяют значения y, для которых −1 − √34/4 ≤ y ≤ −1 + √34/4. Правый конец интервала и будет наибольшим значением дроби.
Ответ. √34/4 − 1.
24.11. Пусть а, b, с — ребра параллелепипеда. Тогда ограничения, указанные в условии задачи, запишутся в виде системы трех соотношений:
аbс = 7,2, аb + ас + bс ≤ 12, а + b ≥ 5.
Преобразуем второе соотношение, приняв во внимание, что а + b ≥ 5:
аb + ас + bс = аb + с(а + b) ≥ аb + 5с,
т. е. аb + 5с ≤ 12. Перепишем теперь первое соотношение в виде аb · 5с = 36. Чтобы решить систему неравенства и уравнения, отыщем точки пересечения прямой x + y = 12 с гиперболой xy = 36, где x = аb, y = 5с. Решая эту систему, найдем единственную точку x = y = 6. Отсюда легко следует, что системе, записанной вначале, отвечают лишь числа с = 6/5, аb = 6. Подставив эти значения во второе соотношение, получим а + b ≤ 5. Поскольку одновременно а + b ≥ 5 (третье соотношение), то а + b = 5 наряду с условием аb = 6.
Ответ. 2, 3, 6/5.
24.12. Преобразуем данную функцию следующим образом:
Второе слагаемое достигает своего наименьшего значения, когда его знаменатель максимален. Поскольку
|sin (α + x) sin (α − x)| = ½|cos 2x − cos 2α|,
то наибольшее значение этого выражения достигается при cos 2x = −1, если cos 2α ≥ 0, 0 < α ≤ π/4, и при cos 2x = 1, если cos 2α < 0, π/4 < α < π/2.
В первом случае x = π(2k + 1)/2, во втором x = πk. И в том и в другом случае первое слагаемое выражения (1) обращается в нуль. Следовательно, при 0 < α ≤ π/4 наибольшее значение функции равно 2 tg² α, а при π/4 < α < π/2 равно 2 ctg² α.
Ответ. 2 tg² α при 0 < α ≤ π/4, 2 ctg² α при π/4 < α < π/2·
24.13. Введем обозначения: arcsin x = α, arccos x = β. Поскольку α + β = π/2, то
α³ + β³ = (α + β)³ − 3αβ(α + β) = π³/8 − 3π/2αβ.
Наименьшее значение данной функции соответствует наибольшему значению произведения αβ. Так как β ≥ 0, то наибольшее значение αβ следует искать при α > 0. В этом случае (α > 0, β > 0) можно записать, что
αβ ≤ (α + β/2)² = π²/16.
Наибольшее значение αβ достигается при α = β = π/4. Следовательно, наименьшее значение исходной функции достигается при x = 1/√2 и равно
π³/8 − 3π³/32 = π³/32.
Наименьшее значение произведения αβ, где β ≥ 0, достигается при условии, что α < 0, причем желательно, чтобы абсолютные величины α и β были наибольшими. При x = −1 будет α = −π/2, β = π. Именно в этой точке произведение αβ достигает минимума, так как α принимает минимальное, а β — максимальное из возможных значений. Итак, при x = −1 исходная функция имеет наибольшее значение
π³/8 + 3π/2 π/2 π = 7π³/8.
Ответ. π³/32, 7π³/8.
24.14. Сделаем следующие преобразования:
y = 2 sin² x + 2 cos² x + 4(2 cos² x) − 2 sin 2x = 2 + 4(1 + cos 2x) − 3 sin 2x = 6 + 4 cos 2x − 3 sin 2x = 6 + 5(4/5 cos 2x − 3/5 sin 2x) = (см. указание I) = 6 + 5(sin φ cos 2x − cos φ sin 2x) = 6 + 5 sin(φ − 2x).
Поскольку min sin (φ − 2x) = −1, то min y = 6 − 5 = 1.
Ответ. 1.
24.15. Преобразуем данную систему к виду
или
Введем новые переменные:
x + 1/5 = s, y + 2/5 = t, z/12 = v, w − 1/12 = u. (4)
Тогда система примет вид
и для удовлетворяющих этой системе переменных нужно найти
min (y + w) = min (5t + 12u − 1). (8)
Обратим внимание на то обстоятельство, что (5) и (6) — уравнения окружностей радиуса 1. Поэтому можно положить:
s = sin α, t = cos α; v = sin β, u = cos β.
Тогда для левой части (7) получим
sin α cos β + sin β cos α = sin(α + β) ≤ 1. (9)
Учитывая соотношения (9) и (7) одновременно, получим
sin (α + β) = 1, т. е. α + β = π/2 + 2πk, (10)
или
sin α = cos β, cos α = sin β, (11)
s = u, t = v. (12)
Соотношение (7), которое преобразуется теперь в равенство, примет вид
u² + t² = 1. (13)
Нам нужно найти min (5t + 12u − 1). Воспользуемся соотношениями (11) и (12), в силу которых u = sin α, t = cos α. Тогда st − 12u − 1 = 13(5/13 − cos α − 12/13 sin³ α) − 1 = 13 cos (α + φ) − 1, где cos φ = 5/13, sin φ = 12/13. Поэтому min (5t − 12u − 1) = −14.
Ответ. −14.
5. Решите неравенство
8(−2x + 3x)(−2x − 1 + 3x)(−2x + 3x + 1)(−2x − 2 + 3x) + 81x ≤ 0.
6. Сторона треугольника имеет длину 9 см, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см. Найдите наименьшее возможное значение, которое может достигать площадь данного треугольника.
24.10. Обозначим данную дробь через y. Поскольку дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, меньше нуля, уравнения
равносильны. Чтобы x было действительным числом, необходимо и достаточно выполнение условия (3 − 4у)² − 4у(6у − 2) ≥ 0, т. е. 8у² + 16у − 9 ≤ 0. Ему удовлетворяют значения y, для которых −1 − √34/4 ≤ y ≤ −1 + √34/4. Правый конец интервала и будет наибольшим значением дроби.
Ответ. √34/4 − 1.
24.11. Пусть а, b, с — ребра параллелепипеда. Тогда ограничения, указанные в условии задачи, запишутся в виде системы трех соотношений:
аbс = 7,2, аb + ас + bс ≤ 12, а + b ≥ 5.
Преобразуем второе соотношение, приняв во внимание, что а + b ≥ 5:
аb + ас + bс = аb + с(а + b) ≥ аb + 5с,
т. е. аb + 5с ≤ 12. Перепишем теперь первое соотношение в виде аb · 5с = 36. Чтобы решить систему неравенства и уравнения, отыщем точки пересечения прямой x + y = 12 с гиперболой xy = 36, где x = аb, y = 5с. Решая эту систему, найдем единственную точку x = y = 6. Отсюда легко следует, что системе, записанной вначале, отвечают лишь числа с = 6/5, аb = 6. Подставив эти значения во второе соотношение, получим а + b ≤ 5. Поскольку одновременно а + b ≥ 5 (третье соотношение), то а + b = 5 наряду с условием аb = 6.
Ответ. 2, 3, 6/5.
24.12. Преобразуем данную функцию следующим образом:
Второе слагаемое достигает своего наименьшего значения, когда его знаменатель максимален. Поскольку
|sin (α + x) sin (α − x)| = ½|cos 2x − cos 2α|,
то наибольшее значение этого выражения достигается при cos 2x = −1, если cos 2α ≥ 0, 0 < α ≤ π/4, и при cos 2x = 1, если cos 2α < 0, π/4 < α < π/2.
В первом случае x = π(2k + 1)/2, во втором x = πk. И в том и в другом случае первое слагаемое выражения (1) обращается в нуль. Следовательно, при 0 < α ≤ π/4 наибольшее значение функции равно 2 tg² α, а при π/4 < α < π/2 равно 2 ctg² α.
Ответ. 2 tg² α при 0 < α ≤ π/4, 2 ctg² α при π/4 < α < π/2·
24.13. Введем обозначения: arcsin x = α, arccos x = β. Поскольку α + β = π/2, то
α³ + β³ = (α + β)³ − 3αβ(α + β) = π³/8 − 3π/2αβ.
Наименьшее значение данной функции соответствует наибольшему значению произведения αβ. Так как β ≥ 0, то наибольшее значение αβ следует искать при α > 0. В этом случае (α > 0, β > 0) можно записать, что
αβ ≤ (α + β/2)² = π²/16.
Наибольшее значение αβ достигается при α = β = π/4. Следовательно, наименьшее значение исходной функции достигается при x = 1/√2 и равно
π³/8 − 3π³/32 = π³/32.
Наименьшее значение произведения αβ, где β ≥ 0, достигается при условии, что α < 0, причем желательно, чтобы абсолютные величины α и β были наибольшими. При x = −1 будет α = −π/2, β = π. Именно в этой точке произведение αβ достигает минимума, так как α принимает минимальное, а β — максимальное из возможных значений. Итак, при x = −1 исходная функция имеет наибольшее значение
π³/8 + 3π/2 π/2 π = 7π³/8.
Ответ. π³/32, 7π³/8.
24.14. Сделаем следующие преобразования:
y = 2 sin² x + 2 cos² x + 4(2 cos² x) − 2 sin 2x = 2 + 4(1 + cos 2x) − 3 sin 2x = 6 + 4 cos 2x − 3 sin 2x = 6 + 5(4/5 cos 2x − 3/5 sin 2x) = (см. указание I) = 6 + 5(sin φ cos 2x − cos φ sin 2x) = 6 + 5 sin(φ − 2x).
Поскольку min sin (φ − 2x) = −1, то min y = 6 − 5 = 1.
Ответ. 1.
24.15. Преобразуем данную систему к виду
или
Введем новые переменные:
x + 1/5 = s, y + 2/5 = t, z/12 = v, w − 1/12 = u. (4)
Тогда система примет вид
и для удовлетворяющих этой системе переменных нужно найти
min (y + w) = min (5t + 12u − 1). (8)
Обратим внимание на то обстоятельство, что (5) и (6) — уравнения окружностей радиуса 1. Поэтому можно положить:
s = sin α, t = cos α; v = sin β, u = cos β.
Тогда для левой части (7) получим
sin α cos β + sin β cos α = sin(α + β) ≤ 1. (9)
Учитывая соотношения (9) и (7) одновременно, получим
sin (α + β) = 1, т. е. α + β = π/2 + 2πk, (10)
или
sin α = cos β, cos α = sin β, (11)
s = u, t = v. (12)
Соотношение (7), которое преобразуется теперь в равенство, примет вид
u² + t² = 1. (13)
Нам нужно найти min (5t + 12u − 1). Воспользуемся соотношениями (11) и (12), в силу которых u = sin α, t = cos α. Тогда st − 12u − 1 = 13(5/13 − cos α − 12/13 sin³ α) − 1 = 13 cos (α + φ) − 1, где cos φ = 5/13, sin φ = 12/13. Поэтому min (5t − 12u − 1) = −14.
Ответ. −14.
Образцы вариантов экзаменационных билетов
Московский государственный авиационный институт (технический университет) (МАИ)
1. Сумма первых одиннадцати членов арифметической прогрессии 418. Найдите шестой член этой прогрессии. 2. Решите уравнение cos 2x = 2 − 2√3 cos x sin x. 3. Основанием наклонной треугольной призмы служит равносторонний треугольник. Сечение, проходящее через среднюю линию верхнего основания и одну из сторон нижнего основания, перпендикулярно основаниям призмы. Найдите объем призмы, если известно, что площадь сечения 30 м², а радиус окружности, описанной около основания, 10/3 √3 м. 4. Решите систему уравнений
5. Решите неравенство
8(−2x + 3x)(−2x − 1 + 3x)(−2x + 3x + 1)(−2x − 2 + 3x) + 81x ≤ 0.
6. Сторона треугольника имеет длину 9 см, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см. Найдите наименьшее возможное значение, которое может достигать площадь данного треугольника.