свойства этой метрики и точно выражает увеличение расстояния по мере приближения одной из точек к границе круга. Для точки, лежащей на границе круга, это расстояние будет бесконечно велико.

(обратно)

16

По определению Брауэра, размерность, равную —1, имеет пустое множество и только оно. Размерность пространства — наименьшее целое n такое, что для любого элемента этого пространства существует ряд произвольно малых открытых множеств с границами, размерность которых строго меньше n.

(обратно)

17

Чтобы определить открытое множество, сначала нужно понять, о каком пространстве идет речь и какая метрика используется. В нашем случае для простоты рассматривается реальное пространство с евклидовой метрикой.

(обратно)

18

Преобразование, открытое Кантором, взаимно однозначно, но не непрерывно. Пеано, напротив, ставил целью найти непрерывное преобразование единичного отрезка в квадрат с единичной стороной, которое не было бы взаимно однозначным (иными словами, несколько точек единичного отрезка отображались бы в одну и ту же точку). Это означало, что отрезок единичной длины и квадрат с единичной стороной не являются эквивалентными. Строгое доказательство этому нашел голландский математик Ян Брауэр в 1911 г.

(обратно)

19

Лобачевский в 1838 г. дал такое определение: «Функция от х есть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной».

(обратно)

20

В современных теориях, например в нестандартном анализе, эти понятия снова стали использоваться, но уже в другой трактовке.

(обратно)

21

Любое линейно связное множество является связным, но не наоборот.

(обратно)

22

Это определение эквивалентно определению непрерывности Коши — Вейерштрасса или определению на языке эпсилон-дельта.

(обратно)

23

Размерность Хаусдорфа для множеств Жюлиа варьируется в зависимости от значения с. Для с = i размерность Хаусдорфа приблизительно равна 1,2; для с = —0,123 + 0,745i она равна примерно 1,3934. Все эти значения найдены эмпирическим путем, а точная размерность для большинства из них неизвестна.

(обратно)

24

В основу этого раздела легла книга Musica fractal: El sonido del caos («Фрактальная музыка: звучание хаоса») Хуана Антонио Переса Ортиса, члена кафедры языков и информационных систем университета Аликанте, Испания.

(обратно)

25

Топологическая размерность кривых, покрывающих плоскость, равна 2, так как именно такую размерность будет иметь фигура, полученная в финальной итерации.

(обратно)

26

Выражение «зависимость от начальных условий» стало широко использоваться еще в 1906 г. после публикации П. Данхема.

(обратно)

27

Возможные последствия невинного взмаха крыла бабочки изобразил Рэй Бредбери в коротком рассказе 1952 г., посвященном путешествию во времени. До него эту же тему раскрыл Чарльз Гой Форт в двух романах 1923 г., в которых он размышлял о том, что перелет птиц в Нью-Йорке может вызвать ураган в Китае.

(обратно)