а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини», «Мир математики»

КАЗАХСТАН

Распространение:

ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»

Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую розничную цену книг. Издатель оставляет за собой право изменять последовательность заявленных тем томов издания и их содержание.

Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в типографии:

Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2 35010 Trebaseleghe (PD) Italy Подписано в печать: 30.10.2013 Дата поступления в продажу на территории России: 25.03.2014

Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy». Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5.

Усл. печ. л. 6,48.

Тираж: 200 000 экз.

© Albert Violant i Holz, 2010 (текст)

© RBA Collecionables S.A., 2011 © ООО «Де Агостини», 2014

ISBN 978-5-9774-0682-6 ISBN 978-5-9774-0623-9 (т. 10) 

Примечания

1

В отличие от Гесиода, орфизм считает Хаос потомком Хроноса и Ананке.

(обратно)

2

Несмотря на это, руководствуясь современными критериями точности, Бертран Рассел указал, что четвертое определение из первой книги «Начал» является «бессмысленным», и возмутился тем, что это определение до сих пор включают в учебники.

(обратно)

3

В 1899 г. немецкий математик Давид Гильберт написал труд «Основания геометрии», в котором на основе 21 аксиомы (постулата) доказываются элементарные теоремы геометрии. Гильберт также исправил некоторые неточности в работе Евклида.

(обратно)

4

Согласно Проклу, понятия «общее утверждение» и «аксиома» являются синонимами для Аристотеля и других логиков, хотя в «Началах» никогда не говорится об аксиомах (axiómata), а Аристотель предпочитает вести речь о принципах (archai) и общих предпосылках (tá коná). По-видимому, постулаты и общие утверждения появились именно в геометрии, хотя последние общеупотребительны во всей математике. Общие утверждения выражают фундаментальные свойства математических объектов, а постулаты определяют возможные геометрические операции. Под постулатом будем понимать утверждение, которое очевидно считается истинным. Сегодня под аксиомами понимаются не очевидные истины, а логические выражения (предположительно верные), используемые в дедукции. Постулат стал архаичным синонимом аксиоме.

(обратно)

5

Евклид совершил еще одну ошибку, опустив как минимум два постулата. Первый из них гласит: две окружности, удаленные друг от друга на расстояние, меньшее двух их радиусов, пересекаются в двух точках. Второй звучит так: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

(обратно)

6

Исходная формулировка этого постулата, эквивалентная данной, такова: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

(обратно)

7

Ошибочное доказательство, приписываемое Фалесу Милетскому, основано на предположении, что существует четырехугольник, все углы которого прямые. Однако существование прямоугольников нельзя доказать, не используя постулат о параллельности прямых.

(обратно)

8

Перспектива, от латинского perspicere — «проникать взором», эквивалентна греческому термину optiké — «оптика». Изначально перспективой называлось изучение зрительных феноменов. Именно в таком значении это понятие использовалось в Античном мире и в Средние века. То, что понимается под перспективой начиная с эпохи Возрождения и до наших дней, в Античности именовалось scaenographia. Эта дисциплина охватывала как изображения зданий, так и рисунки театральных декораций.

(обратно)

9

На языке математики проективным называется геометрическое преобразование, которое оставляет неизменным соотношение между отрезками гармонической четверки точек А, В, С и D так, что АВ/СВ = DA/DC.

(обратно)

10

В общем случае это алгебраические уравнения, в которых фигурируют производные. Подобные уравнения описывают поведение потоков, движение тел в силовых полях и многое другое.

(обратно)

11

Ферма доказал, что свет распространяется по тому пути, вдоль которого время движения минимально, а не вдоль пути, имеющего минимальную длину. Это еще раз доказывает, что физические законы зависят не от равенства углов, а от соотношения их синусов.

(обратно)

12

Чтобы множество, на котором определена некая операция, являлось группой, должны выполняться следующие условия. Операция должна обладать свойством ассоциативности; это означает, что для любых трех элементов множества а, b, с результат операции не зависит от того, в каком порядке группируются элементы. Далее, должен существовать нейтральный элемент; иными словами, множество должно содержать такой элемент е, что результатом операции над этим элементом и любым другим элементом а этого множества всегда будет элемент а.

Наконец, для каждого элемента должен существовать обратный. Это означает, что для любого элемента а этого множества должен существовать элемент a^-1 этого же множества, такой, что результатом операции над элементом а и обратным ему будет нейтральный элемент.

(обратно)

13

Николя Бурбаки — коллективный псевдоним группы французских математиков, которые в 1930-е гг. задались целью пересмотреть основы математики, используя крайне строгий подход. Среди членов группы были такие знаменитые математики, как Анри Картан, Жан Дьёдонне, Андре Вейль, Жан-Пьер Серр и Александр Гротендик.

(обратно)

14

Если использовать более точные математические термины, то не существует изометрического погружения (то есть такого, которое сохраняет расстояния) полной (то есть такой, где геодезические линии можно продлевать бесконечно) гиперболической плоскости в , хотя существуют локальные погружения, например псевдосфера, а также погружения, где первая производная является непрерывной.

(обратно)

15

В этой метрике расстояние между двумя точками Р и Q определяется как d(P,Q) = |ln(PA∙QB/PB∙QA)|, где А и В — точки на границе круга, через которые проходит единственная прямая, проходящая через Р и Q. (РВ — обычное евклидово расстояние между точками Р и В, аналогично для РА, QB и QA.) Это определение, автором которого является выдающийся британский математик Артур Кэли, подтверждает