единица.

— Пока что начало есть, но сейчас оно исчезнет, — весело пообещала Ари. — Итак, мы получили бесконечно возрастающий ряд чисел, где каждое последующее число вдвое больше предыдущего. Теперь подумай: можем мы перевернуть это определение и сказать, что каждое предыдущее число этого ряда вдвое меньше последующего?

— Ну, можем, — милостиво разрешил Чит. — Что в лоб, что по лбу.

— Вот и пройдёмся по этому ряду в обратном направлении. Начнём, скажем, с четырёх. Четыре вдвое меньше восьми, двойка вдвое меньше четырёх, единица вдвое меньше двух…

— Стоп! — крикнул Чит. — Дальше единицы ехать некуда.

— С чего ты взял? Разве нельзя и единицу разделить на два? А половину её опять на два? А новую половину снова на два… И так опять-таки до бесконечности. Вот мы и получили числовой ряд без конца и без начала. Ведь как нет такого БОЛЬШОГО числа, которое нельзя увеличить вдвое, так нет и такого МАЛОГО, которое нельзя вдвое уменьшить.

— Твоя взяла! — сдался Чит. — Этот ряд и впрямь без конца и без начала. Но уж середина у него есть наверняка: единица.

— Почему ты решил?

— Потому что по обе стороны единицы расположено одинаково бесконечное количество чисел.

— Допустим. Но разве нельзя сказать, что одинаково бесконечное количество чисел расположено по обе стороны двойки? Или восьмёрки?

— Постой, Ари, — вышел из себя Чит, — что ты говоришь? По-твоему, получается, что середина у этого бесконечного ряда везде?

— Вот именно везде. Или нигде. Как тебе заблагорассудится. То, что не имеет ни конца, ни начала, вполне может не иметь и середины.

Ари взглянула на Чита и невольно улыбнулась: он был такой сердитый, такой взъерошенный…

— Что, брат, сложно? Ничего не поделаешь — бесконечность! Когда-нибудь познакомишься с ней получше и поймёшь, что в бесконечности свои законы, свои правила вычислений. Но всё это будет когда-нибудь. А пока нам с тобой пора на следующую остановку —

Всевозможные нумерации

— Всевозможные нумерррации! Всевозможные нумерррации! — картаво и раскатисто повторил кто-то, и Чит оказался нос к носу с большим почтенным попугаем.

Попугай перебирал лапками, вращая надетый на ось барабан, из которого время от времени выскакивали разноцветные бумажки, и выкрикивал заученные слова:

— Всевозможные нумерррации! Миррровой аттррракцион! Безденежно-цифровая и числовая лотерея! Приобретайте билетики! Всевозможные нумерррации! Миррровой аттррракцион…

— Сколько можно повторять одно и то же! — не выдержал Чит. — Неужели эта глупая птица не знает ничего другого?

— Ничего дррругого?! — переспросил попугай и хрипло расхохотался, — Какое неспррраведливое подозрение! Мудрый Ара — старейший коллекционеррр мира. У мудрого Ары обширррнейший репертуаррр! В этом барррабане собраны все нумерррации, какими когда-либо пользовались на земном шаре…

Чит хотел спросить, что такое нумерация, но с ужасом обнаружил, что Ари исчезла, а вместе с ней и стеклянный муравейник.

— Ари! — отчаянно завопил он. — Ари, где ты?

— Не кричите понапрррасну, мой юный дррруг, — остановил его попугай. — Ари скоро вернётся. Да и на что вам Ари, когда к вашим услугам Ара? Старый мудрый Ара охотно ответит на ваши вопррросы. Кажется, вы собирались выяснить, что такое нумерррация? Прррошу! Нумерация, или, как говорят иначе, система счисления, — это способ записывать числа. И, смею вас уверить, за долгую историю человечества таких способов поднабралось порядочно.

— Не так уж, наверное, много, если все они умещаются в одном барабанчике, — усомнился Чит.

— Но вполне достаточно, чтобы вас ошарррашить, — с достоинством возразил Ара. — С какого способа ррразрешите начать?

Чит пожелал начать с самого удобного, и попугай сказал, что у него губа не дуррра. Но самая удобная нумерация — современная, а с ней Чит наверняка уже знаком. Поэтому старый мудрый Ара рискнёт предложить ему что-нибудь постарррше. Он покрутил свой барабанчик, оттуда повыскакивало несколько бумажек. На первой бумажке была нарисована колода с зарубками, камешки, кучки бобов и завязанные узлами верёвки.

— Это я уже видел, — сказал Чит пренебрежительно.

— Ничего, взгляните ещё разок. Так вам легче будет оценить замечательное открытие, сделанное около пяти тысяч лет назад в нескольких странах одновременно. Удивляетесь? Напрррасно. Древний Вавилон, Древний Египет, Древний Китай — всё это, по тем временам, государства высокой экономики, техники и культуры. Стало быть, там уже имели дело с большими числами, которых зарубками и камешками не запишешь. Ведь что такое зарубка? Попросту единица. А попробуйте-ка записать единицами тысячу или, того хуже, десять тысяч! И вот люди надумали группировать числа по разрядам…

— Вот так новость! — довольно невежливо перебил Чит. — У нас числа тоже делятся на разряды: единицы, десятки, сотни, тысячи… В числе 156, например, 1 сотня, 5 десятков и 6 единиц.

— Прекрррасно усвоено! — умилился Ара. — Многие древние народы действительно считали так же, как и мы: десятками. То есть каждый следующий разряд был у них больше предыдущего в 10 раз. Десятками считали египтяне. Десятками считали китайцы. Но кое-где пользовались и другими системами счисления. Шестидесятеричной, например. В такой системе каждый последующий разряд больше предыдущего в 60 раз. Те же китайцы в более отдалённые времена считали пятками. А индейцы племени майя — народ своеобррразнейшей культуры! — считали двадцатками. И каждый последующий разряд был у них больше предыдущего в 20 раз.

— Да, это вам не зарубки! — уважительно сказал Чит.

— Что и говорить, прррогресс громадный, — отозвался Ара. — И всё-таки запись больших чисел в древних нумерациях была не слишком-то удобной. Взгляните на билетик с египетской нумерацией. Записанное там число 1754 состоит из семнадцати знаков, а нам с вами достаточно четырёх. А уж как замысловато выглядели числа в Древнем Китае! Насколько я помню, у вас там изображено число 1492, но иному школьнику понадобится столько же дней, чтобы научиться такой записи. Не лучше обстояло дело и у древних римлян, хотя, на первый взгляд, их нумерация весьма экономна. Они обходились всего семью цифрами… Да, давно собираюсь спросить, хорошо ли вы знаете, что такое цифры?

— Странный вопрос, — растерялся Чит. — Цифры — это цифры…

— Великолепно! — неожиданно восхитился Ара. — Цифры — это цифры, а числа — это числа. К сожалению, некоторые люди постоянно