снова повторяет «бе, бе...», пока не доходит до «ибон–али» (две руки). Затем он идет дальше, приговаривая «бе, бе...», пока не доходит до «самба–бе» и «самба–али» (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого–нибудь другою».

От пальцевого счета берут начало пятеричная система счисления (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног) у многих древних народов.

Даже просвещенные греки не стыдились считать на пальцах. А в Древнем Риме, по свидетельству историка Плиния–старшего, на главной площади столицы некогда возвышалась гигантская фигура двуликого бога Януса с загнутыми пальцами. Причем римляне ухитрились так усовершенствовать механику загибания пальцев, что правой рукой бог изображал число 300, а пальцами левой – 55. Вместе это составляло число дней года в римском календаре.

В средневековой Европе полное описание пальцевого счета составил ирландец Беда Достопочтенный. Тот самый трудолюбивый монах, который, вздохнув, сказал как–то: «В мире есть много трудных вещей, но нет ничего труднее, чем четыре действия арифметики». В одном из своих сочинений он подробно изложил способы представления на пальцах различных чисел вплоть до миллиона.

Самое интересное, что его пальцевая «азбука» кое–где используется и поныне. Так, на многих биржах, где из–за шума трудно расслышать собеседника, многие маклеры показывают друг другу числа на пальцах.

Бирки и веревки

Пальцы хороши тем, что всегда при себе. Но не будешь же их все время держать загнутыми определенным способом. А разжал и забыл, какое число получилось в итоге счета.

Поэтому наши хитроумные предки вскоре придумали и еще один вид счета – с помощью деревянных палочек с зарубками (бирок). Их использовали еще древние египтяне. Во всяком случае на барельефе храма фараона Сети I, построенного около 1350 года до н. э. в Абидосе, изображен бог Тот, отмечающий с помощью зарубок на пальмовой ветви длительность срока правления фараона.

В Средневековье бирками широко пользовались для учета и сбора налогов. Причем бирка с зарубками раскалывалась вдоль: одна половинка оставалась у крестьянина, другая – у сборщика–налогов. Сложив половинки вместе, они и вели счет уплаты налога, время от времени добавляя новые зарубки. Способ оказался настолько удобным, что в Англии, например, он продержался до конца XVII века.

Интересная деталь: когда крестьяне выплачивали все налоги, они торжественно сжигали обе части каждой бирки. Однажды костер из бирок во дворе лондонского казначейства оказался столь большим, что сгорело и само здание...

А вот в Азии и Америке бирки почему–то не прижились. Китайцы, персы, индийцы, перуанцы предпочитали использовать для счета и представления чисел ремни или веревки с узелками.

У античного историка Геродота, жившего в V веке до н. э., есть упоминание о том, как персидский царь Дарий, отправляясь в поход на скифов, приказал ионийцам остаться для охраны моста через реку Истер. Завязав на ремне 60 узлов, царь вручил его начальнику охраны со словами: «Люди Ионии, возьмите этот ремень и поступите так, как я скажу вам: как только вы увидите, что я выступил против скифов, с того дня вы начнете ежедневно развязывать по одному узлу, и когда найдете, что дни, обозначенные этими узлами, уже миновали, то можете отправляться к себе домой».

Американские индейцы называли счетные веревки «куиру». Поэтому в перуанских городах до вторжения в Южную Америку европейцев, которые, кстати, привезли с собой и обычай вести счет на бирках, городской казначей именовался «куиру комоуокуна», то есть «хранитель узлов».

Абак покажет...

Впрочем, ни бирки, ни веревки с узелками не могли удовлетворить возраставшие потребности в средствах вычисления. И древние изобрели специальный счетный прибор – абак.

Что означает это слово, точно неизвестно. Многие историки, впрочем, полагают, что некогда так называли дощечку, покрытую слоем пыли. На ней острой палочкой проводились линии и в получившихся колонках по позиционному принципу размещались какие–нибудь предметы» – например, камешки или палочки. В одной колонке они означали единицы, в другой – десятки, в третьей – сотни... По мере надобности камушки в той или иной колонке добавлялись при сложении и убирались при вычитании. Умножение и деление выполнялись как многократные операции сложения и вычитания соответственно.

Римский абак

В X веке абак был усовершенствован чернокнижником Гербертом Аврилакским. Так, во всяком случае, именует его Воланд, один из героев популярного романа М. Булгакова «Мастер и Маргарита».

На самом же деле Герберт был сыном крестьянина из местечка Орильяк на юге Франции. В юности он пас скот. Но со временем способный юноша стал крупным ученым, замечательным педагогом, государственным и церковным деятелем. Однако недобрая слава слуги дьявола долгие годы преследовала его. И главным образом потому, что он мог легко перемножать и делить многозначные числа. Делал же он это с помощью счетного инструмента, известного в истории науки как «абак Герберта».

Последовательность сложения на абаке

Он представлял собой гладкую доску, посыпанную песком и разделенную на 30 столбцов, из которых три отводились для дробей, а остальные образовывали 9 групп, которые сверху завершались дугами. Столбцы в каждой группе обозначались (слева направо) буквами С (centum,, 100), D (decern, 10) и S (singularis, 1).

Причем в каждый столбец клали не камешки, а особые нумерованные жетоны, на которых были обозначены 9 первых числовых знаков. Эти изображения на жетонах назывались «апексами» (от латинского «орех»). Апекс нуля отсутствовал, поэтому для изображения 0 в соответствующем столбце оставляли пустое место.

Счет на линиях

И это было не единственное усовершенствование