Ламберто Гарсия дель Сид «Мир математики» № 21 «Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии»

Посвящается моей любимой жене Кристине

Предисловие

Если спросить, каковы основные числа в мире компьютеров, многие ответят, что два числа, на которых опирается весь цифровой мир, — это 0 и 1. Однако этот ответ будет неверным — в любой системе счисления существуют особые числа, например числа-палиндромы или числа, которые делятся только на единицу и на себя (их мы называем простыми). В действительности существует множество разновидностей чисел — настоящая система, определяющая наши механизмы познания и, как следствие, наше видение мира. Можно говорить о натуральных, целых, вещественных, рациональных, иррациональных, мнимых, трансцендентных, трансфинитных и многих других числах. Однако в рамках этих категорий, рассматриваемых как вместе, так и по отдельности, не все числа одинаково важны. Числа вызывают интерес в зависимости от того, с какой точки зрения они рассматриваются и где используются.

В чем состоит значение тех или иных чисел? Существуют числа, важные для математиков, например π; числа, имеющие особое значение в определенных религиях, например 3, а также числа, которые вызывают интерес у любителей лотерей, в частности 22. Многие числа обрели особое арифметическое или мистическое значение еще в древности. Например, символом медицины в Древнем Египте было око Гора — божества, разрубленного на куски злым богом Сетом и излеченного благородным Тотом. Взяв за основу этот миф, египетские врачеватели присвоили различным частям ока Гора числовые значения (слезной железе — 1/2, внешнему углу — 1/16, радужной оболочке — 1/4). Лекари, смешивая шафран, лотос, плющ и другие ингредиенты снадобий, связывали их соотношение с членами так называемого ряда ока Гора.

Для древних греков первые десять чисел обозначали духовное: они были сущностями, архетипами, символами. Остальные числа если и обладали каким-то значением, то оно представляло собой сочетание значений первых десяти чисел. Эту точку зрения можно описать пифагорейской формулой: «Все есть число». Платон, будучи членом пифагорейской школы, считал число основой гармонии, а гармонию — основой космоса и человека.

Из этой книги вы узнаете, что означали числа в древности, когда, напомним, наибольшим числом была мириада, равная 10⁴, то есть 10 000. Это число обычно использовалось для обозначения очень больших величин, например множества солдат армии, а сегодня мириада обозначает малую долю зрителей, наблюдающих за важным футбольным матчем. Поэтому разумно проводить различие между числами древности и числами современности, которые мы также не обойдем в этой книге стороной: в наши дни древние представления о числе получили развитие, были изобретены новые числа, одни из них получили имя, а другие — и фамилию.

Может показаться, что древние оперировали относительно небольшими числами по сравнению с сегодняшним днем, но этого не скажешь об индийских математиках. Они уделяли большое внимание огромным числам, которые с математической точностью описывали систему представлений о богах и Вселенной. В этой книге мы расскажем и о числах в китайской цивилизации, в том числе о числах, которые ассоциировались с удачей и неудачей.

Числа сегодня обрели влияние, о котором, возможно, Пифагор не мог и мечтать. Они проникли во все сферы нашей жизни, в том числе и в те, которые считались совершенно им чуждыми, например в поэзию. Так, современный поэт Рафаэль Альберти свободно оперирует числами в стихотворении «Ангел чисел»: «девы с циркулями и линейками чертят на небесных досках, а ангел чисел, в раздумьях, летает с 1 на 2, на 3, на 4. <…> Девы без циркулей и линеек плачут, и на мертвых досках ангел чисел, безжизненный, в саване, лежит на 1, на 2, на 3, на 4». Удовлетворим любопытство поэтов и читателей и расскажем, что скрывают наиболее любопытные числа.

Глава 1 Особые числа древности

Nomen est omen, что означает: имя — знамение, имя указывает судьбу. Перефразируя это древнее изречение, можно сказать: число — знамение, число указывает судьбу, так как с древних времен числа были не только частью пророчеств, но и определяли судьбы людей и целых народов. В ассирийско-вавилонской религии небо подчинялось гармонии чисел, гармонии, описывавшейся шумеро-аккадской системой счисления, в ней символическое значение чисел было неразрывно связано с именами людей (и даже богов), которые также обозначались клинописными цифрами. Пример этого можно увидеть на табличке VII века до н. э., где рядом с именем каждого бога записана обозначающая его цифра: Ану, бог неба, отождествлялся с числом 60 («большой единицей» в шести десятеричной системе счисления шумеров и вавилонян), Энлиль, бог земли и плодородия, обозначался числом 50, Эа, бог воды — числом 40 и т. д. для всех богов.

Религия шумеров отличалась богатой символичностью. С богами было связано множество ассоциаций, в том числе мистические числовые соотношения. На иллюстрации — месопотамская надгробная плита XII вена до н. э., на которой изображен царь Мели-Шиху I, приведший свою дочь к богине Нанайя и триаде небесных божеств: луна символизировала Син, солнце — Шамаш, звезда — Иштар.

Именно об этой особенности чисел представитель неопифагорейской школы Модерат из Кадиса, живший в I веке н. э., сказал, что числа есть символические выражения первоначал и по своему смыслу напоминают буквы — символические выражения, сочетания которых образуют слова.

Однако числа играли важную роль не только там, где господствовали верования и суеверия. Отношения между числами, их согласованность и системность еще в Древней Греции стали основой науки, которая сегодня известна как математика. Греки проводили различие между logistike («счетным искусством», отсюда термин «логистика»), которая охватывала счет и вычисления, и arithmetike, которая описывала теорию чисел. Платон, убежденный пифагореец, в своей книге «Государство» настаивал, чтобы граждане описанного им идеального государства обучались именно арифметике. Число в этой области знания использовалось для вычислений и расчетов и благодаря этой утилитарной функции могло рассматриваться независимо от его символического значения. Однако независимость утилитарного и символического значений числа оформилась не до конца, и пифагорейцы, которым был по силам этот героический поступок, продолжали связывать математические свойства чисел с