методам. Но многие критики остались при своих убеждениях, указывая на различные возможные «тонкие места» в этих логических построениях. В моей следующей книге «Тени разума» ^[12]я постарался ответить на все подобные возражения и привел ряд новых аргументов в пользу своей точки зрения. Тем не менее споры все еще продолжаются ^[13].

Одна из причин, мешающих людям признать прямое отношение, которое имеет теорема Геделя к нашему математическому мышлению, заключается в том, что в рамках обычной ее формулировки утверждение G ( P ) не представляет интереса с математической точки зрения. Мало того: оно еще и чрезвычайно сложно для понимания в качестве математического выражения. Соответственно, даже математики предпочитают не «связываться» с подобными выражениями. Однако, существует ряд примеров утверждений геделевского типа, которые легко доступны пониманию даже для тех, чье знакомство с математической терминологией и системой записи ограничивается рамками обычной арифметики.

Особенно впечатляющий пример попался мне на глаза уже после того, как была опубликована эта книга (а также «Тени разума»). Это произошло на лекции Дэна Исааксона в 1996 году. Речь шла об известной теореме Гудстейна ^[14]. Данный пример кажется мне настолько поучительным, что я хотел бы рассмотреть его здесь целиком, дабы читатель имел возможность непосредственно познакомиться с теоремами геделевского типа ^[15].

Чтобы понять суть этой теоремы, рассмотрим любое целое положительное число, скажем, 581. Для начала мы представим его в виде суммы различных степеней числа 2:

581 = 2 ⁹+ 2 ⁶+ 2 ²+ 1.

(Такая процедура применяется для формирования двоичного представления числа 581, а именно, приведения его к виду 1001000101, где единицы соответствуют тем степеням двойки, которые присутствуют в таком представлении, а нули — тем степеням, которых нет.) Далее можно заметить, что «показатели» в этом выражении — т. е. 9,6 и 2 — могут быть, в свою очередь, представлены аналогичным образом (9 = 2 ³+ 1, 6 = 2 ²+ 2 ¹, 2 = 2 ¹); и тогда мы получим (вспоминая, что 2 ¹= 2)

Здесь все еще есть показатель больший, чем двойка — в данном случае это «3», — для которого тоже можно написать разложение

3 = 2 ¹+ 1, так что в конце концов мы будем иметь

А теперь мы подвергнем это выражение последовательности чередующихся простых операций, которые будут

(а) увеличивать «основание» на единицу,

(б) вычитать единицу.

Под «основанием» здесь понимается просто число «2», фигурирующее в исходном выражении, но мы можем сделать то же самое и с большими основаниями: 3, 4, 5, 6…..

Давайте посмотрим, что произойдет при применении операции (а) к последнему разложению числа 581, в результате которой двойки становятся тройками:

(что дает — если выписать его в обычной форме — сороказначное число, начинающееся с 133027946…). После этого мы применяем (б) и получаем

(т. е. по-прежнему сорокозначное число, начинающееся с 133027946…). Далее мы выполняем (а) еще раз и получаем

(это уже значительно большее число, состоящее из 618 знаков, которое начинается с 12926802…). Следующая операция — вычитание единицы — приводит к выражению

(где тройки получаются по той же причине, что и девятки в обычной десятичной записи, когда мы получаем 9999, вычитая 1 из 10 000). После чего операция (а) дает нам

(число, которое имеет 10923 знака и начинается с 1274…). Обратите внимание, что коэффициенты «3», которые возникают при этом, с необходимостью меньше, чем основание (в данном случае 5), и не изменяются с возрастанием последнего. Применяя (б) вновь, имеем число

над которым мы опять производим последовательно действия (а), (б), (а), (б),… и т. д., насколько возможно. Вполне естественно предположить, что этот процесс никогда не завершится, потому что каждый раз мы будем получать все бо́льшие и бо́льшие числа. Однако это не так: как следует из поразительной теоремы Гудстейна, независимо от величины исходного числа ( 581 в нашем примере), мы в конце концов получим нуль !

Кажется невероятным, но это так. А чтобы в это поверить, я рекомендовал бы читателю самостоятельно проделать вышеописанную процедуру, для начала — с числом «3» (где мы раскладываем тройку как 2 ¹+1, что дает последовательность 4, 3,4, 2, 1, 0); а затем — что более важно — попробовать то же самое с «4» (при этом стартовое разложение в виде 4 = 2 ²приводит к вполне закономерно возрастающему ряду 4, 27, 26, 42, 41, 61, 60, 84…, который доходит до числа из 121210 695-ти знаков, после чего уменьшается вплоть до нуля!).

Но что кажется еще более удивительным: теорема Гудстейна фактически является теоремой Геделя для той самой процедуры, которую мы изучали в школе под названием математической индукции, как было доказано в свое время JI.Кирби и Дж. Парисом ^[16]. Как вы, должно быть, помните, математическая индукция позволяет установить справедливость некоторого математического утверждения S ( n ) для n = 1, 2, 3, 4, 5… Доказательство проводится в два этапа: сначала нужно проверить справедливость S ( l ), а затем показать, что, если верно S ( n ), то должно выполняться и S ( n + 1 ). Приняв процедуру математической индукции за Р , Кирби и Парис доказали, что тогда G ( P ) может иметь смысл теоремы Гудстейна.