прекратить его поворот в исходное положение? Кстати, это следует все-таки уточнить. На самом деле во всех этих случая собственно поворота нет – есть строго параллельный перенос. Длинной стрелкой 5 показано, что при любом подъеме широты вплоть до полюса, наивысшей параллели вектор в каждой точке всегда совпадает с меридианом.
Здесь следует обратиться к похожей ситуации из геометрии, рис.3. Рассмотрим кривую с изломом в точке B. Построим семейство касательных к этой кривой. Очевидно, что в точке изгиба перед нами встанет вопрос: в какую сторону направлена касательная и существует ли она вообще?
Рис.3 Касательные к линии с изломом
Если рассуждать строго, то точка B – это точка, определенно принадлежащая нашей кривой, поэтому касательная, видимо, должны быть. Но кривая состоит из двух отрезков. Если бы мы точно знали, какому из них принадлежит точка B, то вопросов не возникло бы. Но в этом, собственно, и состоит ответ. Нам нужно просто определиться, точка B – это единственная точка, или это две точки, принадлежащие каждому из отрезков? Сделать это просто: нужно задать интервалы, которые и укажут, какому из отрезков эта точка принадлежит. Видимо, соломоново решение с удвоением точки здесь вряд ли уместно, поскольку создаёт неопределенность, двусмысленность. Пусть точка B принадлежит правому отрезку. Тогда с касательной всё ясно. В этой точке она принадлежит семейству остальных касательных к родительскому участку кривой. При переходе через эту точку мы, соответственно, переходим к семейству касательных другого отрезка линии. Как видим, никаких двусмысленностей и противоречий нет. При этом мы можем определенно заявить: касательная к точке B – единственная. Если мы будет последовательно строить касательные к левой половине линии, то мы никогда не сможем заявить: вот эта касательная – в точке B, мы не имеем права, поскольку точка B этому отрезку не принадлежит. Теперь вернёмся к нашей сфере. Движение по квадратному контуру нам отчетливо показало, что конечная точка – это не удвоенная точка полюса, это две разные точки. Устремив к нулевому пределу верхнюю параллель, мы, в конечном счете, максимально сблизили эти точки, но они всегда были и остались разными. Следовательно, в треугольнике мы тоже должны отдавать себе отчет, что вернувшийся к полюсу вектор в первоначальной трактовке в исходное положение не вернулся! Он по-прежнему находится на линии правой стороны сферического треугольника. Чтобы его вернуть в исходное положение, мы обязаны последовательно перемещать его по меридианам, то есть, просто-напросто поворачивать в исходное положение. Действительно, точка полюса – это не одна точка. Но мы вопреки этому считаем, что точка изгиба – полюс сферы – может принадлежать только одной линии. По определению, изначально мы его "прикрепили" к левой стороне сферического треугольника, а после обхода контура – к правой стороне. На самом деле в этой точке пересекается множество меридианов, каждый из которых имеет собственную точку на полюсе. Без разрыва меридианов на полюсе устранить его многозначность нельзя, но такой разрыв меридианов логического оправдания не имеет, это весьма искусственный, ничем не обоснованный приём. Если мы переходим на полюсе с крайнего правого меридиана на крайний левый, то есть, в исходное положение, то мы фактически "шагаем" по полюсным точкам каждого меридиана и, соответственно, должны в эти моменты изменять направление переносимого вектора. А не переходить мы не имеем права – исходная точка, в которую мы, как считается, вернули переносимый вектор, находится на левом меридиане. Действительно, на каком основании можно заявить, что на полюсе вектор имеет направление именно этого меридиана? Таких оснований нет. Рассмотрим детальнее ещё два примера обоснования изменения направления вектора при его параллельном переносе. Обратимся ещё раз к примеру, приведённому в работе [4]. "К тензору кривизны, введенному ранее коммутацией вторых ковариантных производных, можно прийти другим путем, рассматривая параллельный перенос произвольного вектора (тензора) по замкнутому контуру. Параллельно перенося произвольный тензор
из произвольной точки A в точку D вдоль различных сторон параллелограмма (см. рис.1.6), можно убедиться в том, что тензор Римана-Кристоффеля определяет разность компонент тензоров, перенесенных из одной точки в другую (близкую) двумя разными путями:
Рис.1.6. Введение тензора кривизны посредством параллельного переноса вектора (тензора) по замкнутому контуру" [4, с.67]. Обратим внимание на то, что рисунок можно рассматривать двояко: как 2-мерное пространство и как пространство 3-мерное. Для наглядности мы внесли небольшие коррективы в оригинальный рисунок: добавили голубоватый фон плоскости перемещения векторов, а для демонстрации трёхмерности пространства продлили вектора под плоскость пространства. Теперь с целью получения результатов в самом общем виде, рассмотрим оба этих варианта. Поскольку изображение на рисунке направления вектора изменённым мы считаем произволом, так сказать, рисованием "на глазок", рассмотрим другой, аналогичный вариант рисунка, на который нанесём параллели или меридианы, кому какое название больше понравится. Наличие этих линий лишит нас возможности для произвольного выбора направлений векторов. Такой рисунок-аналогию можно представить в следующем вид:
Рис.4. Кривое пространство с точки зрения "плосковитян"
Это 2-мерное пространство, каким его воспринимают так называемые "плосковитяне", то есть, некие условные обитатели этого плоского искривлённого пространства. То, что это пространство искривлённое, видно из нашего трёхмерного пространства. Но его обитатели ничего, разумеется, увидеть не могут. Однако, если они попробуют определить сумму углов треугольника, например, треугольника DEF, то обнаружат, что их сумма меньше 180 градусов. Более того, для некоторых областей они получат вообще немыслимый результат: сумма углов треугольника GHK, наоборот, приближается к 360 градусам. Вместе с тем, в этом кривом пространстве есть и область, в которых треугольник, например, ABC имеет нормальную сумму углов – 180 градусов. Заметим, что подобную картину будут наблюдать и обитатели поверхности сферы: сумма внутренних углов некоторых
Рис.3 Касательные к линии с изломом
Если рассуждать строго, то точка B – это точка, определенно принадлежащая нашей кривой, поэтому касательная, видимо, должны быть. Но кривая состоит из двух отрезков. Если бы мы точно знали, какому из них принадлежит точка B, то вопросов не возникло бы. Но в этом, собственно, и состоит ответ. Нам нужно просто определиться, точка B – это единственная точка, или это две точки, принадлежащие каждому из отрезков? Сделать это просто: нужно задать интервалы, которые и укажут, какому из отрезков эта точка принадлежит. Видимо, соломоново решение с удвоением точки здесь вряд ли уместно, поскольку создаёт неопределенность, двусмысленность. Пусть точка B принадлежит правому отрезку. Тогда с касательной всё ясно. В этой точке она принадлежит семейству остальных касательных к родительскому участку кривой. При переходе через эту точку мы, соответственно, переходим к семейству касательных другого отрезка линии. Как видим, никаких двусмысленностей и противоречий нет. При этом мы можем определенно заявить: касательная к точке B – единственная. Если мы будет последовательно строить касательные к левой половине линии, то мы никогда не сможем заявить: вот эта касательная – в точке B, мы не имеем права, поскольку точка B этому отрезку не принадлежит. Теперь вернёмся к нашей сфере. Движение по квадратному контуру нам отчетливо показало, что конечная точка – это не удвоенная точка полюса, это две разные точки. Устремив к нулевому пределу верхнюю параллель, мы, в конечном счете, максимально сблизили эти точки, но они всегда были и остались разными. Следовательно, в треугольнике мы тоже должны отдавать себе отчет, что вернувшийся к полюсу вектор в первоначальной трактовке в исходное положение не вернулся! Он по-прежнему находится на линии правой стороны сферического треугольника. Чтобы его вернуть в исходное положение, мы обязаны последовательно перемещать его по меридианам, то есть, просто-напросто поворачивать в исходное положение. Действительно, точка полюса – это не одна точка. Но мы вопреки этому считаем, что точка изгиба – полюс сферы – может принадлежать только одной линии. По определению, изначально мы его "прикрепили" к левой стороне сферического треугольника, а после обхода контура – к правой стороне. На самом деле в этой точке пересекается множество меридианов, каждый из которых имеет собственную точку на полюсе. Без разрыва меридианов на полюсе устранить его многозначность нельзя, но такой разрыв меридианов логического оправдания не имеет, это весьма искусственный, ничем не обоснованный приём. Если мы переходим на полюсе с крайнего правого меридиана на крайний левый, то есть, в исходное положение, то мы фактически "шагаем" по полюсным точкам каждого меридиана и, соответственно, должны в эти моменты изменять направление переносимого вектора. А не переходить мы не имеем права – исходная точка, в которую мы, как считается, вернули переносимый вектор, находится на левом меридиане. Действительно, на каком основании можно заявить, что на полюсе вектор имеет направление именно этого меридиана? Таких оснований нет. Рассмотрим детальнее ещё два примера обоснования изменения направления вектора при его параллельном переносе. Обратимся ещё раз к примеру, приведённому в работе [4]. "К тензору кривизны, введенному ранее коммутацией вторых ковариантных производных, можно прийти другим путем, рассматривая параллельный перенос произвольного вектора (тензора) по замкнутому контуру. Параллельно перенося произвольный тензор
из произвольной точки A в точку D вдоль различных сторон параллелограмма (см. рис.1.6), можно убедиться в том, что тензор Римана-Кристоффеля определяет разность компонент тензоров, перенесенных из одной точки в другую (близкую) двумя разными путями:
Рис.1.6. Введение тензора кривизны посредством параллельного переноса вектора (тензора) по замкнутому контуру" [4, с.67]. Обратим внимание на то, что рисунок можно рассматривать двояко: как 2-мерное пространство и как пространство 3-мерное. Для наглядности мы внесли небольшие коррективы в оригинальный рисунок: добавили голубоватый фон плоскости перемещения векторов, а для демонстрации трёхмерности пространства продлили вектора под плоскость пространства. Теперь с целью получения результатов в самом общем виде, рассмотрим оба этих варианта. Поскольку изображение на рисунке направления вектора изменённым мы считаем произволом, так сказать, рисованием "на глазок", рассмотрим другой, аналогичный вариант рисунка, на который нанесём параллели или меридианы, кому какое название больше понравится. Наличие этих линий лишит нас возможности для произвольного выбора направлений векторов. Такой рисунок-аналогию можно представить в следующем вид:
Рис.4. Кривое пространство с точки зрения "плосковитян"
Это 2-мерное пространство, каким его воспринимают так называемые "плосковитяне", то есть, некие условные обитатели этого плоского искривлённого пространства. То, что это пространство искривлённое, видно из нашего трёхмерного пространства. Но его обитатели ничего, разумеется, увидеть не могут. Однако, если они попробуют определить сумму углов треугольника, например, треугольника DEF, то обнаружат, что их сумма меньше 180 градусов. Более того, для некоторых областей они получат вообще немыслимый результат: сумма углов треугольника GHK, наоборот, приближается к 360 градусам. Вместе с тем, в этом кривом пространстве есть и область, в которых треугольник, например, ABC имеет нормальную сумму углов – 180 градусов. Заметим, что подобную картину будут наблюдать и обитатели поверхности сферы: сумма внутренних углов некоторых