вместо MN провести МК). Верное геометрическое решение получается и в том случае, если секущая АС пересечет противоположную сторону ниже ее середины (фиг. 4.) но такое решение не удовлетворяет требованиям задачи, так как при нем получается в квадрате и в трапеции по 4 доли вместо трех. Предлагаем самим читателям продолжить и закончить исследование такого решения при различных положениях точки С на продолжении правой стороны квадрата (см. фиг. 5)

Для второй половины задачи есть тоже очень много решений — при том же числе дробимых долей. Одним из наиболее простых будет тот случай, когда высота трапеция берется равной удвоенной стороне или половине стороны квадрата (см. фиг. 6 и 7)

Задача № 38.

Молоко и пассажиры

Вагон оборудован нецелесообразно, так как все бидоны, прислоненные к стенкам за ними (считая по направлению движения поезда) будут при резких торможениях или остановках скидываться вниз. Целесообразнее делать стелажи не поперек вагона, а вдоль его. — Для робких пассажиров, ездящих в поездах курьерских и тихоходах, есть некоторый смысл выбирать вагоны в первом случае в хвосте поезда (их меньше шансов нагнать сзади), а во втором случае — в голове поезда. Применительно к молоку, независимо от шансов на крушение, для обезопасения от толчков при резких торможениях или остановках лучше садиться спиной к направлению движения (лежать на нижних полках сравнительно безопаснее, чем на верхних).

Задача № 39

Подземный лабиринт.

Старик выяснил сперва, что в подземелье ость строго прямолинейный путь. Для этого он сделал проверку: спустившись в колодце, он оставил у стены зажженный фонарь, а затем поднялся, обошел по горе к выходу, и, войдя в подземелье, убедился, что свет фонаря ясно виден с того примерно места, где на схеме пунктирный проход делает поворот под прямым углом. Пройдясь потом по подземелью до колодца, строго держась все время на свет фонаря, он нащупал в самом конце, справа от себя, выступ степы ближайшей к колодцу пещеры и тщательно измерил расстояние от этого выступа до фонаря. При дальнейших спусках в подземелье, старик всегда ставил свой фонарь строго на прежнее-же место у стены и, пятясь от него назад, без особых трудов доходил до первого выступа стены (тоже справа от себя): а после того он преходил тем-же рачьим способом и весь путь, проверяя все время створу темного выступа степы на освещенный фонарь. Для удобства обратного следования по подземелью, он стал ставить еще в самом угле поворота маршрута зеркальце, чтобы свет фонаря отражался-бы при самом входе в подземелье из долины.

Задача № 40. (Вне конкурса).

Каков треугольник?

Если обозначить через а гипотенузу данного треугольника, через А— тот катет, в сторону которого делается построение, через с — второй катет и через h1, h2, h3 и т. д. — последовательно все проводимые перпендикуляры, то можно написать такие пропорции:h1: с = b: с; h2: h1 = b: а; h2: h3 = b: a; h1: h3 = b: a и т. д. Отсюда ясно, что ряд h1, h2, h3, h4,.…. представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой есть Ь: а (меньше 1). Сумма такой прогрессии как доказывается в алгебре, равняется частному от делению первого члена прогрессии на разность между единицей и знаменателем прогрессии. Значит: h1+h2+h3+h4 +….. = (bс: а):(1-b: а) = bс: (а-b). По условию последняя величина равняется периметру a+b+с. Из ур-ний:

1) a+b+c = bс: (a-b) и 2) а² = b²+с² находим соотношения между сторонами: это можно сделать, напр., после приравнения одной стороны, напр. а, к единице. Из решения уравнений получим, что в таком случае b = 4: 5, а с = 3:5, пли что а: b: с — 5:4:3. Следовательно, условию задачи удовлетворяет любой египетский треугольник.

Правильное решение этой задачи прислала подписчики Э. Эллер, Б. Скрябин и М. Г. Грикуров.

_____

КОНКУРС НА ПРЕМИИ № 12.

Надо решить три помещенных здесь задачи №№ 43, 44, 45. Качество решений оценивается очками, согласно указаний в заголовках самих задач. Еще пол-очка дополнительно может быть прибавлено за тщательность и аккуратность в выполнении решений, при соблюдении, конечно, всех требуемых условий. Те участники конкурса, которые соберут в сумме наибольшее число очков, премируются следующими 10 премиями (при равенстве очков применяется жребий).

1-я премия — «Малюнки», — худ. альбом Шевченко.

2-я премия — Жан-Жак-Руссо — «Исповедь» и переп.

3-я премия — «Волога» — былина, худ. изд.

4-я премия — «Гений и творчество».

5-я — 10-я премии. Любые из имеющихся изданий П. П. Сойкина на сумму до 2 рублей.

Все решения по конкурсу должны быть изложены на отдельном листе, сверху коего должны быть указаны фамилия, адрес и № подписного листа (или взамен того наклеен адрес с бандероли, под которой получается журнал). На конверте надо делать надпись — «В отдел задач».

Срок присылая решений — 4 недели после отправления этого номера журнала почтой из Ленинграда.

Задача № 43 — до 4 очков

Пробег ладьи

Шахматная фигура — ладья занимает на доске угловую клетку справа вверху. Требуется обойти ладьей всю доску, пройдясь по каждом клетке только по одному разу и выполнив при этом еще дне условия: 1) десятым ходом надо попасть да клетку, обозначенную в нижнем ряду числом 10, 2) кончить пробег надо на клетке, обозначенной в том-же ряду числом 21, причем последний ход должен быть по счету двадцать первым. — Под ходом здесь следует понимать то, что установлено для ладьи к шахматной игре, т. е. передвижение па любое число клеток в направлении одного прямого ряда клеток, либо по горизонтальным рядами, либо по вертикальным.

Задача № 44 — до 3 очков.

Призы по физкультуре

В большом состязании на скорость было было назначено 30 призов, причем ставки всех призов порознь, кроме первого, шли постепенно убывая на одну и туже величину; только между первым и вторым призами разница была вдвое больше, чем разница между всеми остальными. Надо найти размеры первого и второго призов, если известно, что призы 13 плюс 17 составляют вместе 86 р. 50 к., а призы 8 и 11–46 р.

Решенье должно быть строго арифметическим.

Задача 45 — 2 очка

(буквенная задача).

Все двенадцать строк-названая разных рек. Первые буквы этих рек даны, а каждая из остальных букв заменена значком — либо точкой, либо кружком — (разницы между этими знаками в замене нет). Если же взять буквы, замененные