равнобедренном. Действительно, в данном случае гипотенуза, согласно собственно теореме Пифагора, равна √2.
Но √2 нельзя выразить в виде рационального положительного числа! Это то, что мы сегодня называем иррациональным числом, так как его нельзя выразить в виде отношения между двумя натуральными числами. Именно это, как говорит легенда, доказал Гиппас из Метапонта (ок. 500 до н. э.), строптивый ученик, за что его (или за то, что он открыл миру свое доказательство), как говорят, утопили в море рядом с Кротоной. Здесь мы видим типичный случай доказательства от противного, в котором предполагается противоположное тому, что нужно доказать, и, в свою очередь, доказывается, что это предположение приводит к неразрешимому противоречию с уже доказанной истиной. Это один из самых мощных способов доказательства в математике, при котором, как говорил британский ученый Годфри Харди (1877-1947), математик рискует сильнее, чем любой шахматист с его гамбитом: он рискует всей игрой.
Интеллектуальная гордость пифагорейцев перенесла тяжелейший удар: мир, по-видимому, не был основан на числе как основной сущности. Пифагорейцам не пришло в голову, что достаточно пересмотреть их ограниченное понятие числа, чтобы решить дилемму. Но это объяснимо; на заре математики для пифагорейцев было невозможно принять то, что им казалось невыразимым. В конце концов, они были вынуждены провести различие между величиной и числом, между длинами, измеряемыми в геометрии, и числами, выражаемыми арифметически. Так, обе дисциплины начали отдаляться друг от друга, и только работы ученых XVI и XVII веков Франсуа Виета, Ферма и Рене Декарта смогли воссоединить их.
Никколо Фонтана Тарталья.
Джироламо Кардано.
Очень рано произошло разделение этой науки. С одной стороны были геометры, которые пытались понять и дополнить результаты греков. Следует иметь в виду, что хотя и сохранилось несколько книг, многие из них погибли при различных исторических обстоятельствах, произошедших между эпохой эллинизма и Возрождения — в период, охватывающий около 2000 лет. Среди этих событий примечательно разрушение (или несколько разрушений) Александрийской библиотеки. Итак, математики эпохи Возрождения, убежденные в том, что потеряли огромную массу знаний, пытались заполнить бреши, которые история проделала в трудах Евклида, Архимеда, Диофанта, Птолемея и Аполлония. Они исповедовали греческий метод: строгие и красивые геометрические доказательства. Однако в то же время другие математики, называемые ренетами, занимались решением более или менее практических задач. Их нанимали торговцы, хотя часто они также участвовали в состязаниях, на которых задавали друг другу задачи, требующие решения. Эти математики были первыми алгебраистами и исповедовали прагматический подход: строгость, совершенство и красота доказательства интересовали их меньше, чем эффективность их методов. В какой-то степени они были наследниками египтян и вавилонян. С одной стороны, благодаря деятельности ренетов уменьшилась значимость идеи доказательства, а с другой стороны, они культивировали традицию засекречивания знаний, в отличие от греков-постпифагорейцев, публиковавших свои результаты подобно тому, как это делается сегодня. Итак, мы провели краткий обзор истории математики, чтобы исследовать природу доказательства согласно различным математическим традициям, от Пифагора до Возрождения. Данные традиции колеблются между секретностью и открытостью, строгостью и прагматизмом. Именно в этой питательной среде
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ √2
Представим, что число √2 рационально. Тогда его можно выразить в виде отношения двух целых чисел: √2 =p/q. Мы можем предположить, что предыдущее отношение несократимо, то есть его нельзя упростить еще больше, или, что то же самое, р и q не имеют общих делителей. Итак, из предыдущего выражения следует, что 2 = p2/q2. Следовательно, p2 — четное. Но если целое число в квадрате четное, то и само число, p, тоже четное (поскольку квадрат нечетного числа всегда нечетный). Следовательно, мы можем записать p = 2k и 4k2 = 2q2, или 2k2 = q2. То есть q2 также четное, и q тоже. Но это противоречит гипотезе о том, что у p и q нет общих делителей! Следовательно, одна из наших гипотез ложная. Это не может быть гипотеза о том, что отношение несократимо; то есть ложно предположение о том, что √2 — рациональное число.ОТ ЭПОХИ ВОЗРОЖДЕНИЯ ДО XVII ВЕКА
Эпоха Возрождения привела к настоящему пробуждению интеллектуальной математической деятельности. В течение же всего Средневековья сложно найти выдающиеся математические достижения в Европе; они встречались только в мусульманском мире. Но постепенное знакомство с греческими текстами, которые были сохранены арабами, в сочетании с оригинальным вкладом исламских ученых, вызвали у первых математиков XVI века беспрецедентную активность.ТАРТАЛЬЯ И КАРДАНО
Никколо Фонтана (1499-1557), по прозвищу Тарталья, и Джироламо Кардано (1501-1576) были одними из самых знаменитых ренетов. Детство Тартальи нельзя назвать безоблачным: у него не было отца, он рос в нищете, а при завоевании Брешии французский солдат нанес ему рану, затронувшую челюсть и нёбо, из-за чего он не мог нормально разговаривать. Отсюда его прозвище, означающее "заика". Кардано, знаменитый врач, алгебраист и великий инженер, потерял сына, поскольку не смог заплатить компенсацию, которая требовалась, чтобы того не казнили. Случилось так, что итальянский математик Сципион дель Ферро (1465-1526) нашел решение кубических уравнений, которое держал в секрете ото всех, кроме своих самых близких учеников. Один из них, А.М. Фиоре, вызвал Тарталью в 1535 году на математическое соревнование. Работая в усиленном темпе, Тарталья нашел собственное решение, более общее, чем у дель Ферро. Это позволило ему застать Фиоре врасплох, решить все задачи с кубическими уравнениями, которые тот ему предлагал, и, в свою очередь, выиграть у него, предложив ему задачи, которые Фиоре не смог решить. Кардано узнал об этом состязании и постарался расположить к себе Тарталью, который в итоге показал ему решение, потребовав хранить его в секрете. Но Кардано узнал также решение дель Ферро и, думая, что это освобождает его от необходимости хранить секрет, опубликовал результат Тартальи в "Великом искусстве", большом трактате по алгебре.
Никколо Фонтана Тарталья.
Джироламо Кардано.
Очень рано произошло разделение этой науки. С одной стороны были геометры, которые пытались понять и дополнить результаты греков. Следует иметь в виду, что хотя и сохранилось несколько книг, многие из них погибли при различных исторических обстоятельствах, произошедших между эпохой эллинизма и Возрождения — в период, охватывающий около 2000 лет. Среди этих событий примечательно разрушение (или несколько разрушений) Александрийской библиотеки. Итак, математики эпохи Возрождения, убежденные в том, что потеряли огромную массу знаний, пытались заполнить бреши, которые история проделала в трудах Евклида, Архимеда, Диофанта, Птолемея и Аполлония. Они исповедовали греческий метод: строгие и красивые геометрические доказательства. Однако в то же время другие математики, называемые ренетами, занимались решением более или менее практических задач. Их нанимали торговцы, хотя часто они также участвовали в состязаниях, на которых задавали друг другу задачи, требующие решения. Эти математики были первыми алгебраистами и исповедовали прагматический подход: строгость, совершенство и красота доказательства интересовали их меньше, чем эффективность их методов. В какой-то степени они были наследниками египтян и вавилонян. С одной стороны, благодаря деятельности ренетов уменьшилась значимость идеи доказательства, а с другой стороны, они культивировали традицию засекречивания знаний, в отличие от греков-постпифагорейцев, публиковавших свои результаты подобно тому, как это делается сегодня. Итак, мы провели краткий обзор истории математики, чтобы исследовать природу доказательства согласно различным математическим традициям, от Пифагора до Возрождения. Данные традиции колеблются между секретностью и открытостью, строгостью и прагматизмом. Именно в этой питательной среде