поочередно пересчитать элементы рассматриваемого множества, как-то сравнить их или сгруппировать в уме.

Для того чтобы определить дату какого-либо события и сообщить ее другому человеку или чтобы подтвердить, что вечером в загон вернулось столько же коз и коров, сколько из него вышло утром, применялись различные методы.

А чтобы запомнить результаты подсчета и передать их адресату, человеку потребовался язык, в котором цифры имели бы свои названия. Все основные образы, связанные с числами, человек заимствует в природе. Так, крылья птицы символизируют пару, лепестки клевера — 3, лапы животного — 4, пальцы руки — 5 и так далее. Есть и другие взаимосвязи, позволяющие последовательно прийти к таким абстрактным понятиям, как число и счет.

Обычно человек начинает считать на пальцах рук, поэтому большинство современных систем счисления десятичные. В некоторых культурах использовались системы счисления по основанию 12 — возможно, с их помощью было удобнее делить, так как 12 имеет больше делителей, чем 10. Майя, ацтеки, кельты и баски использовали при счете пальцы ног, поэтому их система счисления имела основание 20. Шумеры, создатели древнейшей из известных нам форм письменности, и вавилоняне, создатели нуля, разработали шестидесятеричную систему, которую мы используем и сегодня, когда делим часы на минуты и секунды, круг — на 360 градусов, градус — на 60 минут, минуту — на 60 секунд.

Многочисленные кости животных с вертикальными насечками и зарубками, найденные во время раскопок в Западной Европе, помогают понять, как считали наши предки. Эти зарубки являются истоками римской системы записи цифр. Также есть немало подтверждений тому, что все народы Земли на том или ином этапе своей истории использовали счет на пальцах рук. Египтяне, римляне, арабы и персы (не будем забывать и о христианских народах средневековой Европы) при помощи фаланг и суставов на пальцах рук, применяя жесты, подобные жестам из языка глухонемых, могли считать от 1 до 9999. Китайцы пошли еще дальше: они создали систему, позволявшую считать до ста тысяч на пальцах одной руки и до десяти миллиардов — на пальцах двух рук.

Слева — один из способов показать число 3 на пальцах. Справа это же число указано в китайской системе.

Согласно некоторым авторам, на ранних этапах истории арифметики для счета также использовались кучки камней или гальки. На их основе позднее был создан абак. Усовершенствованные аналоги абака до сих пор используются в Китае, Японии и в странах Восточной Европы. Память об этих камешках сохранилась даже в самом слове «калькулятор» — «счетчик», так как латинское слово calculus означает «маленький камень».

Запись чисел с помощью цифр возникла позднее. По всей видимости, некие счетоводы решили заменить привычные камешки изделиями из глины. В зависимости от формы и размера эти изделия обозначали те или иные величины: палочка — единицу, шарик — десяток, большой шарик — сотню и так далее.

* * *

КИПУ — СЧЕТ ПРИ ПОМОЩИ ВЕРЕВОК

Кипу (на языке кечуа это слово означает «узел») — это система, созданная древними индейцами Анд, в которой используются веревки из шерсти или хлопка и узлы одного или нескольких цветов. Эрудиты империи инков, кипукамайоки, использовали кипу для счета, а также, по мнению некоторых исследователей, для письма.

Кипу были обнаружены в городе Караль, в долине реки Супе, в 200 километрах к северу от Перу при археологических раскопках поселения, которое, по мнению ЮНЕСКО, является древнейшим городом Америки (его возраст составляет около 5 тысяч лет). Кроме того, кипу были найдены в поселениях культуры Уари — древней цивилизации, существовавшей в центральных Андах примерно с VII до XIII века.

Кипу представляла собой веревка без узлов, на которую подвешивались другие, как правило, завязанные веревки самых разных цветов, форм и размеров. Разные цвета обозначали разные классы объектов (бурый — управление; малиновый — Инка (монарх); фиолетовый — курака (правитель селений); зеленый — завоевание; красный — война; черный — время; желтый — золото; белый — серебро), а узлы — их количество.

* * *

Имеются археологические свидетельства, подтверждающие, что эту систему примерно в одно и то же время (за 4000 лет до н. э.) применяли сразу две цивилизации: Элам на территории современного Ирана, близ Персидского залива, где использовалась десятичная система счисления, и шумеры Южного Междуречья, использовавшие шестидесятеричную систему. Счетоводы хранили предметы, обозначавшие числа, в глиняных шарах. В день, когда требовалось произвести подсчеты, шар разбивался, и из него извлекались предметы, обозначавшие нужную величину. В результате эволюции этой системы на смену предметам, заключенным внутри шара, пришли отметки на самом шаре. Шарики превратились в маленькие зарубки, большие конусы — в широкие насечки, большие шары — в круги. Так, примерно в 3200 году до н. э. возникли первые шумерские цифры, древнейшие из известных человечеству.

Важную роль в развитии математических идей играет измерение. Оно подразумевает сравнение, упорядочение и количественную оценку. Хотя определенные вещи считаются важными во всех культурах, не все они имеют одинаковую меру.

В каждой среде, в каждом контексте возникают особые потребности, которые, в свою очередь, приводят к появлению тех или иных мер. Первым «измерительным прибором» во всех культурах, возможно, было тело человека. Даже сегодня в отсутствие рулетки и других точных инструментов мы меряем большие расстояния шагами, а маленькие — пальцами рук.

Измерение подразумевает сравнение.

Возможно, самыми первыми возникли потребности в измерении расстояний и оценке количества еды. Во многих культурах расстояния измерялись по времени в пути — в днях пути пешком, на лошади, в повозке и так далее. Сегодня мы по-прежнему оцениваем длительность туристических походов по времени в пути. Количество еды измерялось с помощью емкостей для хранения — корзин, чашек, мешков и так далее. Подобные единицы до сих пор широко применяются в быту: когда мы готовим рис на четверых, мы не используем весы, а отмеряем определенную долю стакана на человека.

Дискретное и непрерывное

В разговоре о различиях между счетом и