Энрике Грасиан «Мир математики» № 18 «Открытие без границ Бесконечность в математике»

Предисловие

Французский писатель Альфонс Алле (1854–1905) говорил: «Бесконечность велика, особенно ближе к концу», тем самым не без доли юмора показав, что мы не можем воспринимать бесконечность как таковую и всегда представляем ее в сравнении с чем-либо. Иными словами, человек может рассматривать бесконечность только в привязке к чему-то конечному, так как сам имеет конечную природу. Когда мы смотрим вдаль, мы теряемся и погружаемся в философские размышления, домыслы и гипотезы и, в лучшем случае, формируем к бесконечности какое-то отношение, не всегда рационально обоснованное. Поэтому неудивительно, что бесконечность была, есть и будет темой философских, научных и религиозных споров, ведь философия, наука и религия — три огромные области человеческой мысли, границы между которыми не всегда четко определены.

Когда большинство людей думают о бесконечности, они испытывают головокружение, ведь она неизменно ускользает от нас, как бы мы ни старались. И это в самом деле так. Возможно, бесконечность именно потому вызывает такой интерес, что представляет собой неисчерпаемый источник вдохновения. История ее изучения в математике настолько любопытна, что можно говорить о «математике бесконечности» и смело утверждать, что в математике бесконечность перестала быть чем-то неясным и превратилась в полноценный математический объект, подобный числам и геометрическим фигурам.

Но любой математический объект должен быть четко определен. В этом смысле математик подобен охотнику: он исследует незнакомую местность, выслеживает добычу, выжидает, берет ее на мушку и, тщательно прицелившись, стреляет.

Это же произошло и с бесконечностью, причем она была непростой добычей — потребовалось больше трех тысяч лет, чтобы поймать ее. В погоне за бесконечностью ученым пришлось петлять между догмами и парадоксами, вступать на территорию греческой философии, разбираться в хитросплетениях религиозных измышлений и секретов тайных обществ. Однако бесконечность можно было встретить и в геометрии, и в лабиринте чисел, более привычных охотникам-математикам.

Мы проследим, как размышляли о бесконечности величайшие мудрецы всех времен и народов, будь то философы, богословы, физики или математики. В погоне за бесконечностью некоторые из них утратили рассудок, другие поплатились жизнью, взойдя на костер по приговору инквизиции, и все это — из-за идеи. Однако мы знаем, что одна идея способна радикально изменить наше восприятие мира и пошатнуть основы верований.

Эта тема интересует не только математиков, но и философов, при этом и математическая, и философская точка зрения на бесконечность должны быть согласованы между собой. Ведь, как сказал французский математик Жан-Шарль де Борда (1733–1799), «без математики нельзя глубоко проникнуть в суть философии, без философии нельзя глубоко проникнуть в суть математики, а без них обеих нельзя понять суть чего бы то ни было».

Глава 1. Что такое бесконечность

Понятие бесконечности — это неотъемлемая часть человеческой мысли. Весьма вероятно, что мы имеем некое врожденное неясное представление о бесконечности, которое постоянно сопоставляем с противоположным ему четким представлением о конечности, являющейся частью нашей природы. В философии и богословии размышления о бесконечности могут быть необязательными и ситуативными, но в математике ее исследование всегда было и остается насущной необходимостью.

Бесконечность в повседневной жизни

Известен анекдот о некоем преподавателе математики, которому нужно было в первый раз объяснить студентам, что такое бесконечность. Он взял коробку с мелками, достал один и начал рисовать прямую на доске. Дойдя до края доски, он продолжил вести линию по стене, затем по полу и, не останавливаясь, вышел из аудитории и исчез из вида в конце коридора, продолжая вести линию. Дивленные студенты ждали, что будет дальше. Спустя некоторое время прозвенел звонок к концу лекции.

Преподаватель исчез. Последним, кто его видел, был вахтер. Преподаватель шел по улице и, не отрывая мела от асфальта, по-прежнему чертил линию. Прошло три дня, и руководство университета решило найти преподавателю замену. Через несколько месяцев, к удивлению студентов, преподаватель вернулся. Он оброс бородой, за спиной у него был рюкзак, в руке он держал кусочек мела. Он вошел в класс, по-прежнему чертя на полу линию, дошел до доски и, наконец, остановился.

Усталый преподаватель повернулся к студентам и сказал: «Эта линия невероятно велика, но она — ничто в сравнении с бесконечностью».

Неизвестно, какое решение приняло руководство университета — возможно, преподавателя поместили в лечебницу. Также неизвестно, поняли ли студенты, что такое бесконечность. Однако преподавателю удалось выразить одно: бесконечность неизбежно связана с чем-то исключительным и даже шокирующим.

Существует множество удивительных историй, цель которых — дать нам представление о бесконечности. В религиозном контексте бесконечность обычно связана с вечностью и вечными муками. Пытка может быть долгой, но рано или поздно она прекратится, адские муки, напротив, длятся целую вечность. Чтобы описать вечность, обычно приводилась аналогия с неким титаническим трудом — например, сбором песка на огромном пляже по одной песчинке каждые сто лет. Один из наиболее любопытных образов бесконечности таков: представьте, что Земля — это стальной шар, и один раз в миллион лет голубь слегка гладит его крылом. Когда шар сотрется и превратится в бесконечно малую точку, пройдет вечность. Все эти истории обычно рассказывают детям, чтобы дать им представление (увы, неизбежно пугающее) о том, сколь велика бесконечность.

Я впервые осознал, что такое бесконечность, ребенком, когда оказался между двумя параллельными зеркалами в кабине лифта. «Что это?» — спросил я. Отец взял меня за руку и ответил: «Это бесконечность». С тех пор бесконечность для меня подобна далекой, удивительной и пугающей стране, по которой лучше всего путешествовать, если кто-то держит тебя за руку.

Для всех нас бесконечность находится где-то далеко, в совершенно недостижимом месте, и в лучшем случае вызывает страх, в худшем — безмерный ужас. Однако альтернатива бесконечности также не слишком обнадеживает. Если Вселенная конечна, что находится за ее пределами? Ответ: Ничто, с большой буквы. И это «Ничто» еще невероятнее, чем бесконечность.