А.А. Локшин, Е.А. Иванова

Откуда мы знаем,

что такое

точка?

Пособие

МОСКВА – 2011

УДК 51

ББК 22.1

Л73

Локшин А.А., Иванова Е.А.

Л73

Откуда мы знаем, что такое точка?: Пособие. – М.: МАКС Пресс, 2011. – 40 с.

ISBN 978-5-317-03565-5

УДК 51

ББК 22.1

ISBN 978-5-317-03565-5

© Локшин А.А., Иванова Е.А., 2011

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие4

1. Парадокс математической индукции6

2. Откуда мы знаем, что такое точка?7

3. Текстовые задачи: какой метод предпочесть?9

4. Мысленное моделирование при решении текстовых задач11

5. Усохшие проценты14

6. Правило произведения в комбинаторной задаче о маршрутах16

7. Об одном комбинаторном соотношении21

8. Чему равен нуль-факториал?22

9. Задача о составлении букета24

10. О некоторых трудностях в преподавании логики25

11. Несуществующие объекты и математическая логика27

12. Импликация и время28

13. Коварный куб31

14. Почему деление не дистрибутивно слева?32

15. Обобщенная диаграмма Эйлера33

16. Змей Горыныч и транзитивность35

Литература38

Список обозначений39

ПРЕДИСЛОВИЕ

В брошюре рассмотрены некоторые вопросы из теории множеств, логики, комбинаторики и элементарной геометрии, недостаточно освещенные в имеющейся литературе и представляющие, на взгляд авторов, интерес для студентов пединститутов

(в особенности, для студентов факультетов начальных классов), школьников-старшеклассников и учителей математики.

Авторы

Москва, 2011

1. ПАРАДОКС МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

Метод математической индукции является, как известно, могучим инструментом, позволяющим доказывать многие математические утверждения, не поддающиеся иным методам. Соль метода в том, что он позволяет, так сказать, «опереться на недоказанное».

В простейшем случае действие метода выглядит так. Пусть имеется некоторое утверждение A(n), зависящее от натурального номера n (n = 1,2,…). Тогда если A(1) истинно и если из истинности A(n) следует истинность A(n+1), то A(n) истинно при всех натуральных n.

Итак, доказывая истинность A(n+1), мы можем опереться на недоказанную истинность A(n) – великолепная возможность, которую не предоставляют никакие другие методы. (Как мы увидим ниже, за этой возможностью скрывается довольно любопытный парадокс.)

Приведенная выше формулировка метода математической индукции может быть кратко записана, с использованием общепринятых математических терминов, в следующем виде:

A(1)

(1)

Здесь формулы над чертой – так называемые посылки, истинность которых мы должны предварительно установить, формула под чертой – вывод, истинность которого обеспечивается истинностью посылок; N обозначает множество натуральных чисел.

Парадокс, однако, заключается в том, что, «применяя математическую индукцию», мы пользуемся не методом (1), а другими соображениями.

Действительно, посмотрим, как фактически проводится доказательство «по индукции». Вначале доказывается справедливость A(1), и пока мы, как будто, действуем в согласии со схемой (1). Однако наш следующий шаг представляет собой мыслительную операцию, в корне отличную от второй строчки в схеме (1). Фактически, мы рассуждаем так:

«Предположим, что A(n) истинно при некотором произвольном n. Докажем, что тогда A(n+1) тоже истинно».

Без слова «некоторый» здесь обойтись невозможно, так как в противном случае наше предположение звучало бы так:

«Предположим, что A(n) истинно при произвольном n», т.е. мы предположили бы то, что требуется доказать! (Без слова «произвольный», очевидно, тоже невозможно обойтись.) В итоге вместо (1) мы пользуемся на самом деле схемой

A (1)

(2)

Заметим, что понятие «некоторый произвольный» не удается выразить с помощью математических кванторов (для любого) и (существует). В сущности, это говорит о несовершенстве (бедности) «общепринятого» математического языка и о том, что так называемая «содержательная» логика, в рамках которой работает большинство математиков, не совпадает с формальной логикой, в которой операция взятия «некоторого произвольного» элемента не предусмотрена.

2. ОТКУДА МЫ ЗНАЕМ, ЧТО ТАКОЕ ТОЧКА?

В этом параграфе мы обсудим один из интереснейших вопросов, лежащих на стыке математики и психологии. В первом параграфе мы уже сталкивались с операцией выбора некоторого произвольного элемента. В статье [2], где эта операция была подробно рассмотрена, отмечалось, в частности, что упомянутая операция неявно апеллирует к существованию у человека свободы воли. Тем самым, как было отмечено в [2], такое понятие как независимая переменная также базируется на предположении о существовании у человека свободы воли^[2].

Для преподавателя математики этот вопрос вовсе не является второстепенным – например, на уроках геометрии невозможно обойтись без «выбора произвольной точки».

Любознательный ученик может тогда спросить:

– А что такое произвольная точка? Это то же самое, что случайно выбранная точка?

Ответ преподавателя будет, конечно, отрицательным. Заменив произвольно выбранную точку на точку, выбранную случайно, мы не сможем провести ни одного сколько-нибудь содержательного доказательства. Ведь случайно выбранная точка может совершенно случайно всегда оказываться, например, началом координат…

Но в то же время некоторая произвольно выбранная точка – это не то же самое, что каждая точка. Мы просто физически не можем выбрать каждую точку на плоскости – человек, как утверждают психологи, не способен одновременно уследить больше чем за семью объектами!

Преподаватель математики вовсе не должен перегружать своих учеников философскими размышлениями о наличии или отсутствии свободы воли у человека. Но понимать, что «выбор некоторого произвольного элемента»^[3] – это операция, без которой математика беспомощна, на наш взгляд необходимо.

Похоже, однако, что представление о свободе воли является для человека врожденным, а сомнение в ее наличии есть некое «отклонение от нормы». К такому выводу нас подталкивают следующие